3. Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите ВС, если AH 18, AC = 50.
В треугольнике \( ABC \), где \( B \) – прямой угол, и \( AH \) – высота из вершины \( B \) на гипотенузу \( AC \), существует соотношение для высоты, основанное на площадях треугольника.
Площадь треугольника \( ABC \) можно выразить двумя способами:
Через основание \( AC \) и высоту \( BH \): \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times AH \]
Через стороны \( AB \) и \( BC \): \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \]
Здесь площадь будет одинаковой, так что можно установить равенство: \[ \frac{1}{2} \times AC \times AH = \frac{1}{2} \times AB \times BC \]
Сокращаем \( \frac{1}{2} \): \[ AC \times AH = AB \times BC \]
Поскольку у нас есть \( AH = 18 \) и \( AC = 50 \), можно подставить эти значения: \[ 50 \times 18 = AB \times BC \] \[ 900 = AB \times BC \]
Обозначим \( BC = x \). По теореме Пифагора, в треугольнике \( ABC \) выполняется: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ 50^2 = AB^2 + x^2 \] \[ 2500 = AB^2 + x^2 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( AB \times x = 900 \)
- \( AB^2 + x^2 = 2500 \)
Из первого уравнения выразим \( AB \): \[ AB = \frac{900}{x} \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ \left(\frac{900}{x}\right)^2 + x^2 = 2500 \] \[ \frac{810000}{x^2} + x^2 = 2500 \]
Умножим всё на \( x^2 \) для устранения знаменателя: \[ 810000 + x^4 = 2500x^2 \] \[ x^4 - 2500x^2 + 810000 = 0 \]
Теперь сделаем замену: \( y = x^2 \). Уравнение примет вид: \[ y^2 - 2500y + 810000 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -2500 \), \( c = 810000 \).
Дискриминант: \[ D = (-2500)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 810000 = 6250000 - 3240000 = 3010000 \]
Теперь найдём корни \( y \): \[ y = \frac{2500 \pm \sqrt{3010000}}{2} \] Находим \( \sqrt{3010000} \approx 1734.58 \), тогда: \[ y_1 = \frac{2500 + 1734.58}{2} \approx 2117.29 \] \[ y_2 = \frac{2500 - 1734.58}{2} \approx 382.71 \]
Поскольку \( y = x^2 \), то: \[ x_1 \approx \sqrt{2117.29} \approx 46.0 \quad (не подходит по условию) \] \[ x_2 \approx \sqrt{382.71} \approx 19.5 \]
Таким образом, длина \( BC \) равна: \[ BC \approx 19.5 \text{ (округляем до двух знаков)}. \]
Итак, результат: \[ BC \approx 19.5. \]
