Давайте обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). По условию задачи, диагональ ( d ) прямоугольника больше одной из сторон на 4 см и больше другой стороны на 2 см. Таким образом, мы можем записать два уравнения:
- ( d = a + 4 )
- ( d = b + 2 )
По теореме Пифагора, мы знаем, что диагональ прямоугольника может быть найдена по формуле:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Теперь мы можем составить систему уравнений:
[
\sqrt{a^2 + b^2} = a + 4
]
[
\sqrt{a^2 + b^2} = b + 2
]
Так как обе выражения равны диагонали, мы можем приравнять их:
[
a + 4 = b + 2
]
Отсюда можем выразить одну сторону через другую:
[
a - b = -2 \quad \Rightarrow \quad a = b - 2
]
Теперь подставим это выражение для ( a ) в одно из уравнений диагонали. Используем первое:
[
d = (b - 2) + 4 = b + 2
]
Теперь просто вместо ( d ) подставим его значение:
[
\sqrt{(b - 2)^2 + b^2} = b + 2
]
Раскроем квадрат:
[
\sqrt{(b^2 - 4b + 4) + b^2} = b + 2
]
[
\sqrt{2b^2 - 4b + 4} = b + 2
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
2b^2 - 4b + 4 = (b + 2)^2
]
[
2b^2 - 4b + 4 = b^2 + 4b + 4
]
Упростим уравнение:
[
2b^2 - 4b + 4 - b^2 - 4b - 4 = 0
]
[
b^2 - 8b = 0
]
Вынесем общий множитель:
[
b(b - 8) = 0
]
Следовательно, ( b = 0 ) или ( b = 8 ). Оставляем только положительное значение, так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными:
[
b = 8
]
Теперь найдем ( a ):
[
a = b - 2 = 8 - 2 = 6
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
[
a = 6 \text{ см}, \quad b = 8 \text{ см}.
]
