диагональ прямоугольника на 4 см больше одной из его сторон и на 2 см больше другой. найдите стороны прямоугольника через x решение
Давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). По условию задачи, диагональ \( d \) прямоугольника больше одной из сторон на 4 см и больше другой стороны на 2 см. Таким образом, мы можем записать два уравнения:
- \( d = a + 4 \)
- \( d = b + 2 \)
По теореме Пифагора, мы знаем, что диагональ прямоугольника может быть найдена по формуле:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Теперь мы можем составить систему уравнений:
\[ \sqrt{a^2 + b^2} = a + 4 \] \[ \sqrt{a^2 + b^2} = b + 2 \]
Так как обе выражения равны диагонали, мы можем приравнять их:
\[ a + 4 = b + 2 \]
Отсюда можем выразить одну сторону через другую:
\[ a - b = -2 \quad \Rightarrow \quad a = b - 2 \]
Теперь подставим это выражение для \( a \) в одно из уравнений диагонали. Используем первое:
\[ d = (b - 2) + 4 = b + 2 \]
Теперь просто вместо \( d \) подставим его значение:
\[ \sqrt{(b - 2)^2 + b^2} = b + 2 \]
Раскроем квадрат:
\[ \sqrt{(b^2 - 4b + 4) + b^2} = b + 2 \] \[ \sqrt{2b^2 - 4b + 4} = b + 2 \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ 2b^2 - 4b + 4 = (b + 2)^2 \] \[ 2b^2 - 4b + 4 = b^2 + 4b + 4 \]
Упростим уравнение:
\[ 2b^2 - 4b + 4 - b^2 - 4b - 4 = 0 \] \[ b^2 - 8b = 0 \]
Вынесем общий множитель:
\[ b(b - 8) = 0 \]
Следовательно, \( b = 0 \) или \( b = 8 \). Оставляем только положительное значение, так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными:
\[ b = 8 \]
Теперь найдем \( a \):
\[ a = b - 2 = 8 - 2 = 6 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
\[ a = 6 \text{ см}, \quad b = 8 \text{ см}. \]
