В горизонтально расположенной длинной пробирке (площадь поперечного сечения S = 2,0 см²), закрытой легкоподвижным поршнем, находится идеальный газ (рисунок а). Длина столбика газа 10 = 49,0 см. Когда пробирку расположили вертикально открытым концом вниз (рисунок b), поршень сместился под действием силы тяжести, и длина столбика изменилась до 11. Lo a b
Определите длину столбика 11, если масса поршня при нормальном атмосферном давлении (ро = 100 кПа) и постоянной температуре газа равна т = 40 г.
Для решения этой задачи можно использовать уравнение состояния идеального газа и уравнение гидростатического давления.
### Данные:
- Площадь поперечного сечения пробирки \( S = 2,0 \, \text{см}^2 = 2,0 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \)
- Начальная длина столбика газа \( l_0 = 49,0 \, \text{см} = 0,49 \, \text{м} \)
- Масса поршня \( m = 40 \, \text{г} = 0,04 \, \text{кг} \)
- Атмосферное давление \( P_0 = 100 \, \text{kPa} = 100 \times 10^3 \, \text{Па} \)
### Решение:
1. **Находясь в горизонтальном положении** (рисунок а), газ в пробирке находится в состоянии равновесия с атмосферным давлением.
\[
P_{Газ} = P_0
\]
Объем газа \( V = S \cdot l_0 = 2,0 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot 0,49 \, \text{м} = 9,8 \times 10^{-5} \, \text{м}^3 \).
2. **Когда пробирка становится вертикальной** (рисунок b), на поршень действует сила тяжести, и, следовательно, давление газа в пробирке будет равно:
\[
P_{Газ} = P_{атм} - \frac{m \cdot g}{S}
\]
Здесь \( g \) — ускорение свободного падения, примерно равное \( 9,81 \, \text{м/с}^2 \).
3. **Сначала рассчитаем силу тяжести на поршень**:
\[
F_{g} = m \cdot g = 0,04 \, \text{кг} \cdot 9,81 \, \text{м/с}^2 = 0,3924 \, \text{Н}
\]
4. **Теперь подставим в давление**:
\[
P_{Газ} = P_0 - \frac{F_{g}}{S} = 100 \times 10^3 \, \text{Па} - \frac{0,3924 \, \text{Н}}{2 \times 10^{-4} \, \text{м}^2}
\]
\[
P_{Газ} = 100 \times 10^3 \, \text{Па} - 19620 \, \text{Па} = 80380 \, \text{Па}
\]
5. **Теперь применим уравнение состояния идеального газа**:
\[
P \cdot V = n \cdot R \cdot T
\]
6. **Можно выразить объем нового состояния**:
\[
V = S \cdot l_1
\]
Учитывая, что \( P_{газ} \cdot l_0 = P_{газ} \cdot l_1 \), имеем:
\[
l_1 = \frac{P_{газ} \cdot l_0}{P_{Газ}}
\]
Подставляем значения:
\[
l_1 = \frac{100 \times 10^3 \, \text{Па} \cdot 0,49 \, \text{м}}{80380 \, \text{Па}} \approx \frac{49 \times 10^3}{80380} \, \text{м} \approx 0,610 \, \text{м}
\]
7. Длина столбика \( l_1 \):
\[
l_1 \approx 61,0 \, см
\]
Таким образом, длина столбика газа \( l_1 \) в вертикальном положении составляет примерно 61 см.
