Восьмой член геометрической прогрессии в 3 раза меньше её четвёртого члена. Во сколько раз восемнадцатый член этой прогрессии меньше её шестого члена?
Обозначим первый член геометрической прогрессии как \( a \), а знаменатель прогрессии как \( q \).
Члены геометрической прогрессии можно записать следующим образом:
- Четвёртый член: \( a_4 = a \cdot q^3 \)
- Восьмой член: \( a_8 = a \cdot q^7 \)
По условию задачи, восьмой член в 3 раза меньше четвёртого: \[ a \cdot q^7 = \frac{1}{3} (a \cdot q^3) \]
Упростим это уравнение, если \( a \neq 0 \): \[ q^7 = \frac{1}{3} q^3 \]
Умножим обе стороны на \( 3q^3 \) (при условии, что \( q \neq 0 \)): \[ 3q^7 = q^3 \] \[ 3q^7 - q^3 = 0 \] \[ q^3(3q^4 - 1) = 0 \]
Откуда получаем:
- \( q^3 = 0 \) (невозможный случай, так как \( q \neq 0 \))
- \( 3q^4 - 1 = 0 \implies q^4 = \frac{1}{3} \implies q = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \)
Теперь найдём, во сколько раз восемнадцатый член меньше шестого члена.
Шестой член: \[ a_6 = a \cdot q^5 \]
Восемнадцатый член: \[ a_{18} = a \cdot q^{17} \]
Теперь найдем отношение: \[ \frac{a_{18}}{a_6} = \frac{a \cdot q^{17}}{a \cdot q^5} = \frac{q^{17}}{q^5} = q^{12} \]
Подставим значение \( q \): \[ q^{12} = \left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{12} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \]
Таким образом, восемнадцатый член прогрессии в 27 раз меньше её шестого члена.
Ответ: восемнадцатый член в 27 раз меньше шестого члена.
