Обозначим первый член геометрической прогрессии как ( a ), а знаменатель прогрессии как ( q ).
Члены геометрической прогрессии можно записать следующим образом:
- Четвёртый член: ( a_4 = a \cdot q^3 )
- Восьмой член: ( a_8 = a \cdot q^7 )
По условию задачи, восьмой член в 3 раза меньше четвёртого:
[
a \cdot q^7 = \frac{1}{3} (a \cdot q^3)
]
Упростим это уравнение, если ( a \neq 0 ):
[
q^7 = \frac{1}{3} q^3
]
Умножим обе стороны на ( 3q^3 ) (при условии, что ( q \neq 0 )):
[
3q^7 = q^3
]
[
3q^7 - q^3 = 0
]
[
q^3(3q^4 - 1) = 0
]
Откуда получаем:
- ( q^3 = 0 ) (невозможный случай, так как ( q \neq 0 ))
- ( 3q^4 - 1 = 0 \implies q^4 = \frac{1}{3} \implies q = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} )
Теперь найдём, во сколько раз восемнадцатый член меньше шестого члена.
Шестой член:
[
a_6 = a \cdot q^5
]
Восемнадцатый член:
[
a_{18} = a \cdot q^{17}
]
Теперь найдем отношение:
[
\frac{a_{18}}{a_6} = \frac{a \cdot q^{17}}{a \cdot q^5} = \frac{q^{17}}{q^5} = q^{12}
]
Подставим значение ( q ):
[
q^{12} = \left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{12} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}
]
Таким образом, восемнадцатый член прогрессии в 27 раз меньше её шестого члена.
Ответ: восемнадцатый член в 27 раз меньше шестого члена.
