Давайте обозначим размеры прямоугольного параллелепипеда как (a), (b) и (c).
Мы знаем, что:
Длина диагонали всего параллелепипеда определяется по формуле:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
]
Где (d = 26), следовательно:
[
a^2 + b^2 + c^2 = 26^2 = 676
]
Диагонали боковых граней. Для каждой грани можно записать:
- Для грани (ab): диагональ (d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = 6\sqrt{17})
- Для грани (bc): диагональ (d_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = 8\sqrt{10})
- Для грани (ca): диагональ (d_3 = \sqrt{c^2 + a^2})
Теперь можем составить уравнения:
Из первого уравнения:
[
a^2 + b^2 = (6\sqrt{17})^2 = 36 \times 17 = 612
]
[
b^2 + c^2 = (8\sqrt{10})^2 = 64 \times 10 = 640
]
Далее нам нужно выразить (c^2 + a^2) через известные значения. Обозначим:
[
S_1 = a^2 + b^2 = 612
]
[
S_2 = b^2 + c^2 = 640
]
[
S_3 = c^2 + a^2
]
Теперь можем выразить (c^2) и (a^2) из первых двух уравнений:
Из (S_1):
[
b^2 = 612 - a^2
]
Подставляя в (S_2):
[
(612 - a^2) + c^2 = 640 \implies c^2 - a^2 = 640 - 612 = 28 \implies c^2 = a^2 + 28
]
Теперь можно подставить это (c^2) в уравнение для (c^2 + a^2):
[
c^2 + a^2 = (a^2 + 28) + a^2 = 2a^2 + 28
]
Мы знаем, что:
[
S_1 + S_2 + S_3 = a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 + a^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)
]
Таким образом, подставим (S_1), (S_2) и (S_3):
[
612 + 640 + S_3 = 2 \cdot 676
]
[
S_3 = 1352 - 1252 = 100
]
Теперь можем найти (a^2) и (c^2):
[
c^2 + a^2 = 100 \implies 2a^2 + 28 = 100 \implies 2a^2 = 72 \implies a^2 = 36 \implies a = 6
]
И подставив, находим (c):
[
c^2 = a^2 + 28 = 36 + 28 = 64 \implies c = 8
]
Нашли (a) и (c). Теперь можем найти (b):
[
b^2 = 612 - a^2 = 612 - 36 = 576 \implies b = 24
]
Ответ:
Размеры параллелепипеда: (a = 6), (b = 24), (c = 8).
