найти промежутки монотонности функции f(x)=7-x/x

Для нахождения промежутков монотонности функции \( f(x) = \frac{7 - x}{x} \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \).
2. Определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Исследовать знак производной на промежутках.

Рассмотрим функцию:

\[ f(x) = \frac{7 - x}{x} \]

Для удобства можно записать её в виде:

\[ f(x) = \frac{7}{x} - 1 \]

Теперь найдём производную:

\[ f'(x) = -\frac{7}{x^2} \]

Производная \( f'(x) \) существует для всех \( x \neq 0 \) и всегда отрицательна, так как \( -\frac{7}{x^2} < 0 \) для всех \( x \neq 0 \).

Теперь найдём критические точки:

1. \( f'(x) = 0 \): нет решения, так как производная никогда не равна нулю.
2. \( f'(x) \) не существует в точке \( x = 0 \).

Исследуем знаки производной:

• На промежутках \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \) производная отрицательна.

Из этого следует:

• Функция убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).

Таким образом, функция \( f(x) = \frac{7-x}{x} \) убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).