Найти промежутки монотонности функции f(x)=7-x/x

Для нахождения промежутков монотонности функции \( f(x) = \frac{7 - x}{x} \) необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции \( f(x) \). 2. Определить критические точки, где производная равна нулю или не существует. 3. Исследовать знак производной на промежутках. Рассмотрим функцию: \[ f(x) = \frac{7 - x}{x} \] Для удобства можно записать её в виде: \[ f(x) = \frac{7}{x} - 1 \] Теперь найдём производную: \[ f'(x) = -\frac{7}{x^2} \] Производная \( f'(x) \) существует для всех \( x \neq 0 \) и всегда отрицательна, так как \( -\frac{7}{x^2} < 0 \) для всех \( x \neq 0 \). Теперь найдём критические точки: 1. \( f'(x) = 0 \): нет решения, так как производная никогда не равна нулю. 2. \( f'(x) \) не существует в точке \( x = 0 \). Исследуем знаки производной: - На промежутках \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \) производная отрицательна. Из этого следует: - Функция убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \). Таким образом, функция \( f(x) = \frac{7-x}{x} \) убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).