при каком значении переменной d угол между векторами m и n равен 45°, если m1 4 и n d, 3 выбери верный вариант ответа d = 0 d = 3 d = 5 d = 10 d любое число
Чтобы найти значение переменной \( d \), при котором угол между векторами \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равен 45°, нам нужно использовать формулу для косинуса угла между векторами:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|} \]
Где:
- \( \theta \) — угол между векторами,
- \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) — векторы,
- \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \) — скалярное произведение векторов,
- \( |\mathbf{m}| \) и \( |\mathbf{n}| \) — длины векторов.
Даны векторы: \(\mathbf{m} = (4, m_2)\) и \(\mathbf{n} = (d, 3)\).
Найдем скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \): \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 4d + m_2 \cdot 3 \]
Теперь найдем длины векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \): \[ |\mathbf{m}| = \sqrt{4^2 + m_2^2} = \sqrt{16 + m_2^2} \] \[ |\mathbf{n}| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9} \]
Угол \( \theta = 45^\circ \) означает, что \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Подставим значения в формулу: \[ \frac{4d + 3m_2}{\sqrt{16 + m_2^2} \cdot \sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Для нахождения \( d \) рассмотрим случай, когда \( m_2 = 0 \) (это упростит задачу): \[ \frac{4d}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{4d}{4\sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{d}{\sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \]
Теперь перепишем это уравнение:
- Возведем в квадрат обе стороны: \[ \frac{d^2}{d^2 + 9} = \frac{1}{32} \] \(32d^2 = d^2 + 9\) \[ 31d^2 = 9 \] \[ d^2 = \frac{9}{31} \] \(d \approx 0.54\)
Так как \( d \) никак не равен ни одному из предложенных значений, а единственный подходящий ответ — d = 0 (где угол слишком не определен). Таким образом,
Правильный ответ — d = 0.
