№1. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол В равен 60°. Высота СС1 равна 32 см. Найдите АВ.

В треугольнике ABC, где угол C равен 90° и угол B равен 60°, угол A можно найти следующим образом:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180° \] \[ \angle A + 60° + 90° = 180° \] \[ \angle A = 180° - 150° = 30° \]

Таким образом, в треугольнике ABC углы равны:

• \(\angle A = 30°\)
• \(\angle B = 60°\)
• \(\angle C = 90°\)

Мы можем использовать некоторые соотношения в треугольнике с углом 30° и углом 60°. В таком треугольнике стороны, противолежащие этим углам, имеют следующие отношения:

• Сторона, противолежащая углу 30°, равна полу гипотенузы.
• Сторона, противолежащая углу 60°, равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) от гипотенузы.

Обозначим:

• AB = c (гипотенуза)
• BC = a (сторона, противолежащая углу A = 30°)
• AC = b (сторона, противолежащая углу B = 60°)

Также известно, что высота из угла C, то есть CC1, равна 32 см. При этом для нахождения высоты в прямоугольном треугольнике справедливо:

\[ CC1 = \frac{a \cdot b}{c} \]

Но так как \(a = b \cdot \tan(30°)\) и \(b = a \cdot \tan(60°)\), мы можем использовать более простое соотношение, связанное с углами 30° и 60°.

Мы знаем, что:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(B) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Где h = CC1 = 32 см.

Однако, давайте выразим стороне AB (гипотенуза \(c\)) через высоту:

\[ CC1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(b \cdot \tan(60°)\right) = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \sqrt{3} \] где \(b = CC1 \cdot \tan(30°)= 32 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \). Сначала находим a и b и затем можно найти c.

Поскольку \(CC1 = \frac{1}{2}ab\)

Теперь давайте выразим c через b как:

\[ h = \frac{ab}{c} \] \[ c = \frac{ab}{h} = \frac{AB \cdot a \cdot \\}{\frac{32}{2}} = \frac{ab}{32}, \text{ где } a=\frac{32}{h}, b=\sqrt{CC1} \]

Теперь давайте решим для \(c\):

Возвращаемся к гипотенузе: \[ AB = 64/\sqrt{3} \]

Таким образом, гипотенуза \(AB \approx 64/\sqrt{3} \approx 37.0\) см.

Тогда конечный результат:

\[ AB \approx 64 см \text{ (или именно \text{см} для rounded answer)} \]