баржа прошла по течению реки 56 км и повернув обратно прошла ещё 54 затратив на весь путь 5 часов. найдите собственную скорость баржи если скорость течения реки равна 5 км/ч
Давайте обозначим собственную скорость баржи как \( v \) км/ч.
Скорость баржи по течению: когда баржа плывет вниз по течению, её скорость составит \( v + 5 \) км/ч (добавляем скорость течения).
Скорость баржи против течения: когда баржа плывет вверх по течению, её скорость составит \( v - 5 \) км/ч (вычитаем скорость течения).
Теперь можем рассчитать время, затраченное на каждый участок пути.
Время спуска по течению (56 км): \[ t_1 = \frac{56}{v + 5} \]
Время подъема против течения (54 км): \[ t_2 = \frac{54}{v - 5} \]
Сумма времени на оба участка пути равна 5 часам: \[ t_1 + t_2 = 5 \]
Подставляем выражения для времени:
\[ \frac{56}{v + 5} + \frac{54}{v - 5} = 5 \]
Теперь умножим уравнение на \((v + 5)(v - 5)\) для устранения дробей:
\[ 56(v - 5) + 54(v + 5) = 5(v^2 - 25) \]
Раскроем скобки:
\[ 56v - 280 + 54v + 270 = 5v^2 - 125 \]
Объединим подобные термины:
\[ 110v - 10 = 5v^2 - 125 \]
Перепишем уравнение:
\[ 5v^2 - 110v - 115 = 0 \]
Разделим все на 5:
\[ v^2 - 22v - 23 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 \]
Находим корни уравнения:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm 24}{2} \]
Корни:
- \( v = \frac{46}{2} = 23 \) км/ч
- \( v = \frac{-2}{2} = -1 \) (не имеет смысла)
Таким образом, собственная скорость баржи составляет 23 км/ч.
