Даны точки (2;1),(4;2) и (1;4). Какая должна быть четвертая точка, что бы вершины этих точек создавали параллелограмм ?

Для того чтобы найти четвертую точку, которая образует параллелограмм с заданными точками (2,1), (4,2) и (1,4), мы можем использовать следующее свойство: в параллелограмме диагонали пересекаются в их серединных точках.

Обозначим наши точки:

• \( A(2,1) \)
• \( B(4,2) \)
• \( C(1,4) \)
• \( D(x,y) \) — искомая точка.

Сначала найдем средние точки для двух пар точек, так как они должны совпадать. Рассмотрим пары:

1. \( AB \) и \( CD \)
2. \( AC \) и \( BD \)
3. \( BC \) и \( AD \)

Для пары \( AB \) и \( CD \) у нас есть:

• Средняя точка \( M_{AB} \) от точки \( A \) и \( B \): \[ M_{AB} = \left( \frac{2+4}{2}, \frac{1+2}{2} \right) = \left( 3, \frac{3}{2} \right) \]

Теперь найдем среднюю точку \( M_{CD} \): \[ M_{CD} = \left( \frac{1+x}{2}, \frac{4+y}{2} \right) \]

Поскольку средние точки должны быть равны, то: \[ M_{AB} = M_{CD} \] Таким образом, у нас есть система уравнений:

1. \( \frac{1+x}{2} = 3 \)
2. \( \frac{4+y}{2} = \frac{3}{2} \)

Решим уравнения:

1. Из первого уравнения: \[ 1+x = 6 \implies x = 5 \]
2. Из второго уравнения: \[ 4+y = 3 \implies y = -1 \]

Таким образом, координаты искомой четвертой точки \( D \) будут \( (5, -1) \).

Ответ: Четвертая точка должна быть \( (5, -1) \).