Даны точки (2;1),(4;2) и (1;4). Какая должна быть четвертая точка, что бы вершины этих точек создавали параллелограмм ?

Для того чтобы найти четвертую точку, которая образует параллелограмм с заданными точками (2,1), (4,2) и (1,4), мы можем использовать следующее свойство: в параллелограмме диагонали пересекаются в их серединных точках. Обозначим наши точки: - \( A(2,1) \) - \( B(4,2) \) - \( C(1,4) \) - \( D(x,y) \) — искомая точка. Сначала найдем средние точки для двух пар точек, так как они должны совпадать. Рассмотрим пары: 1. \( AB \) и \( CD \) 2. \( AC \) и \( BD \) 3. \( BC \) и \( AD \) Для пары \( AB \) и \( CD \) у нас есть: - Средняя точка \( M_{AB} \) от точки \( A \) и \( B \): \[ M_{AB} = \left( \frac{2+4}{2}, \frac{1+2}{2} \right) = \left( 3, \frac{3}{2} \right) \] Теперь найдем среднюю точку \( M_{CD} \): \[ M_{CD} = \left( \frac{1+x}{2}, \frac{4+y}{2} \right) \] Поскольку средние точки должны быть равны, то: \[ M_{AB} = M_{CD} \] Таким образом, у нас есть система уравнений: 1. \( \frac{1+x}{2} = 3 \) 2. \( \frac{4+y}{2} = \frac{3}{2} \) Решим уравнения: 1. Из первого уравнения: \[ 1+x = 6 \implies x = 5 \] 2. Из второго уравнения: \[ 4+y = 3 \implies y = -1 \] Таким образом, координаты искомой четвертой точки \( D \) будут \( (5, -1) \). Ответ: Четвертая точка должна быть \( (5, -1) \).