Для того чтобы система линейных уравнений имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы коэффициенты уравнений были пропорциональны.
Система состоит из двух уравнений:
- ( 8x + (a^2 + ab + b^2)y = 4 )
- ( (a - b)x - 26y = 2 )
Обозначим коэффициенты второго уравнения как:
- ( A_2 = a - b )
- ( B_2 = -26 )
- ( C_2 = 2 )
Для того чтобы система была совместной и имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы выполнялось следующее:
[
\frac{8}{a - b} = \frac{a^2 + ab + b^2}{-26} = \frac{4}{2}
]
Из последнего выражения получаем:
[
\frac{8}{a - b} = 2
]
Следовательно:
[
8 = 2(a - b) \implies a - b = 4 \quad (1)
]
Теперь получим второе уравнение из условия пропорциональности:
[
\frac{a^2 + ab + b^2}{-26} = 2 \implies a^2 + ab + b^2 = -52 \quad (2)
]
Теперь подставим ( b = a - 4 ) из уравнения (1) в уравнение (2):
[
a^2 + a(a - 4) + (a - 4)^2 = -52
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (a^2 - 4a) + (a^2 - 8a + 16) = -52
]
Соберем все в одну сторону:
[
3a^2 - 12a + 16 + 52 = 0
]
[
3a^2 - 12a + 68 = 0
]
Теперь найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 68 = 144 - 816 = -672
]
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений. Таким образом, система уравнений не имеет решений, и, следовательно, нет пар ((a; b)), при которых система имеет бесконечно много решений.
Итог, сумма всех значений (a) из возможных пар равна 0.
Ответ: 0
