В приведенном вами предложении "Свою Москву в обиду мы не дали, как нас в обиду не дала она" содержится сложносочинённое предложение, состоящее из двух частей, соединённых союзом "как".
Вторая часть "как нас в обиду не дала она" является сравнительным придаточным предложением. Оно уточняет или сравнивает действие первой части с действием второй.
Таким образом, вы можете классифицировать придаточное предложение как сравнительное.