Одна из биссектрис основания правильной треугольной пирамиды равна 12, а высота пирамиды равна 24. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Пусть правильная треугольная пирамида имеет основание — равносторонний треугольник со стороной \( a \). Высота пирамиды \( h = 24 \), а биссектрису основания можно обозначить как \( d = 12 \).

Биссектрису треугольника можно вычислить по формуле: \[ d = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \] Подставим известное значение: \[ 12 = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 24 = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \] Умножим обе стороны на \( \frac{3}{\sqrt{3}} \): \[ 24 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = a \quad \Rightarrow \quad a = 24\sqrt{3} \]

Теперь найдем длину бокового ребра \( l \) пирамиды. Боковое ребро формирует треугольник с высотой и половиной основания. Половина стороны основания равна: \[ \frac{a}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]

Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковым ребром: \[ l^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \] Подставим значения: \[ l^2 = 24^2 + (12\sqrt{3})^2 \] Посчитаем: \[ l^2 = 576 + 432 = 1008 \] Следовательно, \[ l = \sqrt{1008} = 12\sqrt{7} \]

Теперь мы можем найти тангенс угла между боковым ребром \( l \) и плоскостью основания, используя треугольник, образованный высотой и боковым ребром: \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{h}{\frac{12\sqrt{3}}{2}} = \frac{h}{12\sqrt{3}} \] Подставляем значение высоты: \[ \tan(\alpha) = \frac{24}{12\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}} \]