Реши задачу

Найдем время, за которое дети выполнят работу вместе.

1. Петя и Алина выпалывают грядку за 4 минуты, значит их производительность вместе составляет \(\frac{1}{4}\) грядки в минуту.
2. Алина и Николай выпалывают ту же грядку за 5 минут, значит их производительность вместе составляет \(\frac{1}{5}\) грядки в минуту.
3. Николай и Петя выполняют работу за 12 минут, их производительность вместе составляет \(\frac{1}{12}\) грядки в минуту.

Пусть производительность Пети = \(p\), Алины = \(a\), Николая = \(n\).

Тогда у нас есть следующие уравнения:

\[ p + a = \frac{1}{4} \]

\[ a + n = \frac{1}{5} \]

\[ n + p = \frac{1}{12} \]

Сложим все три уравнения:

\[ (p + a) + (a + n) + (n + p) = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} \]

Получим:

\[ 2p + 2a + 2n = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} \]

\[ 2(p + a + n) = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} \]

Теперь сложим дроби:

\[ \frac{1}{4} = \frac{15}{60}, \quad \frac{1}{5} = \frac{12}{60}, \quad \frac{1}{12} = \frac{5}{60} \]

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} = \frac{15 + 12 + 5}{60} = \frac{32}{60} = \frac{8}{15} \]

Таким образом:

\[ 2(p + a + n) = \frac{8}{15} \]

\[ p + a + n = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \]

Значит, втроем они выполнят работу за:

\[ \frac{1}{\frac{4}{15}} = \frac{15}{4} = 3.75 \]

Таким образом, втроем дети выполнят работу за 3.75 минуты.