В прямоугольном треугольнике обозначим угол при вершине A как ( 90^\circ ) (это прямой угол), угол B как ( \alpha ), и угол C как ( \beta ). Мы знаем, что ( \alpha + \beta = 90^\circ ).
Биссектрису угла A (прямого угла) можно рассматривать как линию, которая делит этот угол пополам, то есть угол между биссектрисой и одной из сторон треугольника (например, стороной AB) равен ( 45^\circ ).
Так как нам дан угол между бисектрисой и гипотенузой, который равен ( 105^\circ ), можем записать следующее уравнение:
[
\angle AOB = 45^\circ + \angle BOC = 105^\circ.
]
Здесь ( \angle AOB ) — это угол между бисектрисой и одним из катетов (например, AB), а ( \angle BOC ) — угол между бисектрисой и гипотенузой. Значит, можем найти ( \angle BOC ):
[
\angle BOC = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ.
]
Теперь, так как угол BOC образует суммарный угол с углом B, мы можем написать:
[
\alpha + 60^\circ = 90^\circ.
]
Теперь можем найти угол ( \alpha ):
[
\alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
]
Следовательно, остальной угол ( \beta ) будет равен:
[
\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.
]
Таким образом, меньший из острых углов прямоугольного треугольника равен ( 30^\circ ).
