КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, можно выразить через температуры горячего (T_h) и холодного (T_c) резервуаров по следующей формуле:
[
K = 1 - \frac{T_c}{T_h}
]
Где:
- (K) — КПД машины (в числовом выражении, например, 0.2 для 20%),
- (T_h) — температура нагревателя (в абсолютных величинах, обычно в Кельвинах),
- (T_c) — температура холодильника (в абсолютных величинах, также в Кельвинах).
Заданное КПД (K) равно 0.2. Нам необходимо повысить его в 2 раза, то есть до 0.4. Тогда у нас есть два уравнения:
Для исходного КПД:
[
0.2 = 1 - \frac{T_c}{T_h}
]
Для нового КПД:
[
0.4 = 1 - \frac{T'_c}{T_h}
]
где (T'_c) — новая температура холодильника, которую мы хотим найти.
Из первого уравнения выражаем (T_c):
[
0.2 = 1 - \frac{T_c}{T_h} \implies \frac{T_c}{T_h} = 0.8 \implies T_c = 0.8 T_h
]
Теперь подставим (T_c) во второе уравнение:
[
0.4 = 1 - \frac{T'_c}{T_h} \implies \frac{T'_c}{T_h} = 0.6 \implies T'_c = 0.6 T_h
]
Теперь мы можем найти, на сколько процентов необходимо понизить температуру холодильника (T_c) до (T'_c):
[
\Delta T_c = T_c - T'_c = 0.8 T_h - 0.6 T_h = 0.2 T_h
]
Теперь найдем процентное изменение:
[
\text{Процентное изменение} = \frac{\Delta T_c}{T_c} \times 100% = \frac{0.2 T_h}{0.8 T_h} \times 100% = 25%
]
Таким образом, чтобы увеличить КПД машины в 2 раза, необходимо понизить температуру холодильника на 25%.
