Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Для решения задачи обозначим: - \( V_{l} \) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (в км/ч). - \( V_{t} = 2 \) км/ч — скорость течения реки. - Скорость лодки по течению: \( V_{l} + V_{t} = V_{l} + 2 \) км/ч. - Скорость лодки против течения: \( V_{l} - V_{t} = V_{l} - 2 \) км/ч. Плот отправился из точки А в точку В и за 4 часа прошел 28 км, значит его скорость по течению: \[ \text{Скорость плота} = \frac{28 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 7 \text{ км/ч}. \] Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения плюс скорость самого плота. В этом случае, скорость плота равна скорости течения (2 км/ч) плюс его собственная скорость. Следовательно: \[ V_{p} = V_{t} + V_{pl} \implies 7 = 2 + V_{pl} \implies V_{pl} = 5 \text{ км/ч}. \] Теперь найдём, за сколько времени плоту потребуется проплыть оставшиеся 71 км (99 км - 28 км). Плот прошел 28 км за 4 часа, а остается проплыть 99 - 28 = 71 км. Время, необходимое плоту для прохождения оставшегося расстояния: \[ t = \frac{71 \text{ км}}{7 \text{ км/ч}} = 10.14 \text{ ч}. \] Общее время в пути для плота: \[ t_{pl} = 4 + 10.14 = 14.14 \text{ ч}. \] Теперь моторная лодка отправилась через 4 часа после плота, следовательно, у нее есть 10.14 часов, чтобы добраться до точки В и вернуться обратно, в то время как плот продолжал двигаться. Время, затраченное моторной лодкой на путь до В: \[ t_{lo} = \frac{99 \text{ км}}{V_{l} + 2} \text{ ч}. \] Время, затраченное лодкой на возвращение: \[ t_{return} = \frac{99 \text{ км}}{V_{l} - 2} \text{ ч}. \] Сложив время в пути лодки по течению и против течения, получаем: \[ t_{lo} + t_{return} = \frac{99}{V_{l} + 2} + \frac{99}{V_{l} - 2}. \] Это суммарное время должно быть равно 10.14 ч: \[ \frac{99}{V_{l} + 2} + \frac{99}{V_{l} - 2} = 10.14. \] Умножаем на \( V_{l}^2 - 4 \) и упрощаем: \[ 99(V_{l} - 2) + 99(V_{l} + 2) = 10.14 (V_{l}^2 - 4), \] что дает: \[ 198V_{l} = 10.14V_{l}^2 - 40.56. \] Преобразуем это уравнение: \[ 10.14V_{l}^2 - 198V_{l} - 40.56 = 0. \] Используя формулу квадратного уравнения. В данном случае, мы можем получить значения для \( V_{l} \): \[ V_{l} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 10.14 \), \( b = -198 \), \( c = -40.56 \). После расчетов найдем ответ. В результате мы получаем, что скорость лодки в неподвижной воде составляет: \[ V_{l} \approx 34 \text{ км/ч}. \] Таким образом, скорост лодки в неподвижной воде равна 34 км/ч.