Стороны правильного треугольника ABC равны 3 3 Найдите длину вектора АВ + АС .
Для нахождения длины вектора \(\vec{AB} + \vec{AC}\) в правильном треугольнике ABC с равными сторонами, равными 3, можно воспользоваться свойствами векторов.
В правильном треугольнике углы равны 60 градусам. Давайте установим координаты точек A, B и C:
- Пусть точка A находится в начале координат, т.е. A(0, 0).
- Точка B имеет координаты (3, 0).
- Точка C находится на окружности, описанной около треугольника, и её координаты можно найти с помощью углов: \[ C\left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) \]
Теперь найдем вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \vec{AB} = B - A = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0) \] \[ \vec{AC} = C - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \]
Теперь сложим вектора: \[ \vec{AB} + \vec{AC} = (3, 0) + \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(3 + \frac{3}{2}, 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \]
Теперь найдем длину результирующего вектора: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{108}{4}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
Таким образом, длина вектора \(\vec{AB} + \vec{AC}\) равна \(3\sqrt{3}\).
