Стороны правильного треугольника ABC равны 3 корня из 3 Найдите длину вектора АВ + АС .

Давайте рассмотрим правильный треугольник \(ABC\) с длиной стороны \(a = 3\sqrt{3}\).

Для нахождения векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) мы можем использовать координатную систему.

Пусть координаты точки \(A(0, 0)\), точки \(B(3\sqrt{3}, 0)\), а точка \(C\) будет находиться в вершине треугольника. Чтобы найти координаты точки \(C\), использовав свойства правильного треугольника, высота \(h\) треугольника может быть вычислена по формуле:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9}{2} \]

Таким образом, координаты точки \(C\) будут \(C\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

Теперь найдем векторы:

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (3\sqrt{3}, 0) \]

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 0, \frac{9}{2} - 0\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) \]

Теперь найдем сумму векторов:

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \left(3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 + \frac{9}{2}\right) \]

Чтобы сложить эти векторы, сначала сложим координаты по x:

\[ 3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \]

Теперь по y:

\[ 0 + \frac{9}{2} = \frac{9}{2} \]

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

Теперь найдем длину этого вектора:

\[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} \]

\[ = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{243 + 81}{4}} = \sqrt{\frac{324}{4}} = \sqrt{81} = 9 \]

Итак, длина вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) равна \(9\).