Давайте рассмотрим правильный треугольник (ABC) с длиной стороны (a = 3\sqrt{3}).
Для нахождения векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AC}) мы можем использовать координатную систему.
Пусть координаты точки (A(0, 0)), точки (B(3\sqrt{3}, 0)), а точка (C) будет находиться в вершине треугольника. Чтобы найти координаты точки (C), использовав свойства правильного треугольника, высота (h) треугольника может быть вычислена по формуле:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9}{2}
]
Таким образом, координаты точки (C) будут (C\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right)).
Теперь найдем векторы:
[
\overrightarrow{AB} = B - A = (3\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (3\sqrt{3}, 0)
]
[
\overrightarrow{AC} = C - A = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 0, \frac{9}{2} - 0\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right)
]
Теперь найдем сумму векторов:
[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \left(3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 + \frac{9}{2}\right)
]
Чтобы сложить эти векторы, сначала сложим координаты по x:
[
3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}
]
Теперь по y:
[
0 + \frac{9}{2} = \frac{9}{2}
]
Таким образом, вектор (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right)).
Теперь найдем длину этого вектора:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2}
]
[
= \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{243 + 81}{4}} = \sqrt{\frac{324}{4}} = \sqrt{81} = 9
]
Итак, длина вектора (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) равна (9).
