Найти объëм фигуры, полученной в результате вращения во круг оси 0х части плоаболы У=х²-6х+10, заключëной между точками абциссы которых равна 2 и4
Чтобы найти объём фигуры, полученной в результате вращения области, ограниченной параболой \( y = x^2 - 6x + 10 \) между точками абсцисс \( x = 2 \) и \( x = 4 \), можно использовать метод дисков.
Сначала найдём значение функции в пределах интегрирования. Упрощим уравнение параболы:
\[ y = x^2 - 6x + 10 \]
Стандартная форма параболы:
\[ y = (x - 3)^2 + 1 \]
Таким образом, это — парабола, которая имеет вершину в точке \( (3, 1) \).
Объём тела, полученного вращением области, определяется интегралом:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
где \( f(x) = y \) — функция, определяющая границу области.
Мы будем интегрировать от \( x = 2 \) до \( x = 4 \):
\[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^2 - 6x + 10)^2 \, dx \]
Теперь давайте вычислим \( (x^2 - 6x + 10)^2 \):
\[ (x^2 - 6x + 10)^2 = (x^2 - 6x + 10)(x^2 - 6x + 10) \]
Раскроем скобки, используя формулу:
\[ (a - b + c)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ac - 2bc + c^2 \]
где \( a = x^2, b = 6x, c = 10 \):
\[ = x^4 - 12x^3 + 62x^2 - 120x + 100 \]
Теперь подставим это в интеграл:
\[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^4 - 12x^3 + 62x^2 - 120x + 100) \, dx \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + \frac{62x^3}{3} - 60x^2 + 100x \right]_{2}^{4} \]
Теперь подставим пределы:
- Подставим \( x = 4 \):
\[ = \frac{4^5}{5} - 3 \cdot 4^4 + \frac{62 \cdot 4^3}{3} - 60 \cdot 4^2 + 100 \cdot 4 \]
- Подставим \( x = 2 \):
\[ = \frac{2^5}{5} - 3 \cdot 2^4 + \frac{62 \cdot 2^3}{3} - 60 \cdot 2^2 + 100 \cdot 2 \]
Вычислим каждую из частей и подставим в окончательный результат.
Наконец, после выполнения всех вычислений, получите объём и умножьте на \( \pi \).
Объём можно записать как:
\[ V = \text{(результат интеграла)} \cdot \pi \]
Таким образом, финальный ответ будет:
\[ V = \pi \cdot (значение, полученное после подстановки) \]
Пожалуйста, выполните численные вычисления, чтобы получить окончательный результат.
