Пусть длина наклонной равна ( L ), а длина её проекции на плоскость равна ( P ). По условию задачи, длина наклонной в три раза больше длины её проекции:
[
L = 3P
]
Теперь мы можем использовать определение тангенса угла между наклонной и её проекцией. Пусть угол между наклонной и плоскостью называется ( \alpha ). Тогда:
[
\tan(\alpha) = \frac{h}{P}
]
где ( h ) — это высота (перпендикулярное расстояние) от конца наклонной до проекции.
По теореме Пифагора для треугольника, образованного наклонной, её проекцией и высотой, имеем:
[
L^2 = P^2 + h^2
]
Подставим ( L = 3P ):
[
(3P)^2 = P^2 + h^2
]
[
9P^2 = P^2 + h^2
]
[
9P^2 - P^2 = h^2
]
[
8P^2 = h^2
]
[
h = \sqrt{8}P = 2\sqrt{2}P
]
Теперь подставим ( h ) в формулу для тангенса:
[
\tan(\alpha) = \frac{h}{P} = \frac{2\sqrt{2}P}{P} = 2\sqrt{2}
]
Таким образом, тангенс угла между наклонной и её проекцией равен:
[
\tan(\alpha) = 2\sqrt{2}
]
