Известно, что длина наклонной в три раза больше длины её проекции на плоскость. Найди тангенс угла между наклонной и проекцией.

Пусть длина наклонной равна \( L \), а длина её проекции на плоскость равна \( P \). По условию задачи, длина наклонной в три раза больше длины её проекции:

\[ L = 3P \]

Теперь мы можем использовать определение тангенса угла между наклонной и её проекцией. Пусть угол между наклонной и плоскостью называется \( \alpha \). Тогда:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{P} \] где \( h \) — это высота (перпендикулярное расстояние) от конца наклонной до проекции.

По теореме Пифагора для треугольника, образованного наклонной, её проекцией и высотой, имеем:

\[ L^2 = P^2 + h^2 \]

Подставим \( L = 3P \):

\[ (3P)^2 = P^2 + h^2 \] \[ 9P^2 = P^2 + h^2 \] \[ 9P^2 - P^2 = h^2 \] \[ 8P^2 = h^2 \] \[ h = \sqrt{8}P = 2\sqrt{2}P \]

Теперь подставим \( h \) в формулу для тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{P} = \frac{2\sqrt{2}P}{P} = 2\sqrt{2} \]

Таким образом, тангенс угла между наклонной и её проекцией равен:

\[ \tan(\alpha) = 2\sqrt{2} \]