Давайте по очереди решим ваши задания.
Задание 9. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 4 разные фигуры?
На шахматной доске 64 клетки. Для расстановки 4 разных фигур:
- Выбираем клетку для первой фигуры - 64 варианта.
- Выбираем клетку для второй фигуры - 63 варианта (одна клетка уже занята).
- Выбираем клетку для третьей фигуры - 62 варианта.
- Выбираем клетку для четвёртой фигуры - 61 вариант.
Итого количество способов расстановки 4 разных фигур:
[ 64 \times 63 \times 62 \times 61. ]
Задание 10. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске четыре одинаковые фигуры?
Так как фигуры одинаковые, нам нужно просто выбрать 4 клетки из 64, а порядок фигур не важен.
Количество способов выбрать 4 клетки из 64 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:
[
C(64, 4) = \frac{64!}{4!(64-4)!} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1}.
]
Задание 12. Сколько треугольников можно построить с вершинами в 10 точках, если никакие три точки не лежат на одной прямой?
Для построения треугольника необходимо выбрать 3 точки из 10. Количество способов выбрать 3 точки можно также вычислить с помощью биномиального коэффициента:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120.
]
Задание 15. В классе 30 человек сколькими способами можно выбрать 1 капитана и 2 его заместителей?
Сначала выбирайте капитана: 30 вариантов.
Затем выбирайте двух заместителей из оставшихся 29 человек. Количество способов выбрать 2 заместителей также вычисляется через биномиальный коэффициент:
[
C(29, 2) = \frac{29!}{2!(29-2)!} = \frac{29 \times 28}{2 \times 1} = 406.
]
Таким образом, общее количество способов выбрать капитана и двух заместителей:
[
30 \times C(29, 2) = 30 \times 406 = 12180.
]
Ответы:
- Задание 9: ( 64 \times 63 \times 62 \times 61 )
- Задание 10: ( C(64, 4) = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1} )
- Задание 12: 120
- Задание 15: 12180
