Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как (a) и (b). У нас есть две известные информации:
Площадь прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2}ab = 15 \quad (1)
]
Отсюда следует, что
[
ab = 30 \quad (2)
]
Сумма катетов:
[
a + b = 11 \quad (3)
]
Теперь у нас есть система уравнений из (2) и (3). Мы можем выразить один из катетов через другой. Например, выразим (b) через (a) из уравнения (3):
[
b = 11 - a \quad (4)
]
Теперь подставим (4) в (2):
[
a(11 - a) = 30
]
[
11a - a^2 = 30
]
[
a^2 - 11a + 30 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой корней:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -11), и (c = 30):
[
a = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2}
]
Таким образом, получаем два значения для (a):
- (a = \frac{12}{2} = 6)
- (a = \frac{10}{2} = 5)
Теперь подставим значение (a) обратно в уравнение (4) для нахождения (b):
- Если (a = 6), то (b = 11 - 6 = 5).
- Если (a = 5), то (b = 11 - 5 = 6).
Таким образом, катеты (a) и (b) равны 5 см и 6 см.
Теперь найдем периметр (P) прямоугольного треугольника. Периметр равен сумме всех сторон:
[
P = a + b + c
]
где (c) — гипотенуза, которая по теореме Пифагора равна:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
]
Теперь можем рассчитать периметр:
[
P = 5 + 6 + \sqrt{61} = 11 + \sqrt{61}
]
Итак, периметр прямоугольного треугольника равен (11 + \sqrt{61}) см.
