площадь прямоугольного треугольника равна 15 см2/а сумма его катетов 11 см2 Найдите периметр треугольника через систему уравнений
Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\). У нас есть две известные информации:
Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2}ab = 15 \quad (1) \] Отсюда следует, что \[ ab = 30 \quad (2) \]
Сумма катетов: \[ a + b = 11 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система уравнений из (2) и (3). Мы можем выразить один из катетов через другой. Например, выразим \(b\) через \(a\) из уравнения (3): \[ b = 11 - a \quad (4) \]
Теперь подставим (4) в (2): \[ a(11 - a) = 30 \] \[ 11a - a^2 = 30 \] \[ a^2 - 11a + 30 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -11\), и \(c = 30\): \[ a = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2} \]
Таким образом, получаем два значения для \(a\):
- \(a = \frac{12}{2} = 6\)
- \(a = \frac{10}{2} = 5\)
Теперь подставим значение \(a\) обратно в уравнение (4) для нахождения \(b\):
- Если \(a = 6\), то \(b = 11 - 6 = 5\).
- Если \(a = 5\), то \(b = 11 - 5 = 6\).
Таким образом, катеты \(a\) и \(b\) равны 5 см и 6 см.
Теперь найдем периметр \(P\) прямоугольного треугольника. Периметр равен сумме всех сторон: \[ P = a + b + c \] где \(c\) — гипотенуза, которая по теореме Пифагора равна: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \]
Теперь можем рассчитать периметр: \[ P = 5 + 6 + \sqrt{61} = 11 + \sqrt{61} \]
Итак, периметр прямоугольного треугольника равен \(11 + \sqrt{61}\) см.
