Основная матрица системы линейных алгебраических уравнений представляет собой матрицу коэффициентов, которая формируется на основе системы уравнений. Рассмотрим общую форму линейной системы, состоящей из ( n ) уравнений с ( m ) неизвестными:
[
\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1m}x_m &= b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2m}x_m &= b_2 \
&\vdots \
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nm}x_m &= b_n
\end{align*}
]
Здесь ( a_{ij} ) — коэффициенты системы, ( x_j ) — неизвестные, и ( b_i ) — свободные члены.
Основная матрица системы будет иметь вид:
[
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}
\end{pmatrix}
]
При этом вектор свободных членов представляется в виде:
[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
\vdots \
b_n
\end{pmatrix}
]
Таким образом, для решения системы уравнений можно записать её в матричном виде:
[
A \mathbf{x} = \mathbf{b}
]
где ( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_m \end{pmatrix} ) — вектор неизвестных.
