Радиус круга равен 6 . Найди отношение площади кругового сектора данного круга, соответствующего углу в 48 ∘ , к площади кругового сектора данного круга, ограниченного дугой…

Для нахождения отношения площадей круговых секторов, сначала необходимо определить площади каждого сектора.

1. Площадь сектора с углом в 48°:

Площадь круга можно найти по формуле: \[ S = \pi r^2, \] где \( r \) — радиус круга. Подставим значение радиуса \( r = 6 \): \[ S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi. \]

Теперь найдем площадь сектора с углом \( \alpha = 48^\circ \): \[ S_1 = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S = \frac{48}{360} \cdot 36\pi = \frac{48}{360} \cdot 36\pi = \frac{48 \cdot 36\pi}{360} = \frac{48 \cdot 36\pi}{360} = \frac{48 \cdot \pi}{10} = \frac{144\pi}{10} = 14.4\pi. \]

2. Площадь сектора, ограниченного дугой длиной \( 8\pi \):

Длина дуги сектора \( L \) связана с радиусом и углом сектора по формуле: \[ L = r \cdot \alpha, \] где \( \alpha \) — угол в радианах. Найдем угол в радианах: \[ \alpha = \frac{L}{r} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}. \]

Теперь найдем площадь этого сектора: \[ S_2 = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot S = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2\pi} \cdot 36\pi = \frac{4}{6} \cdot 36\pi = \frac{2}{3} \cdot 36\pi = 24\pi. \]

3. Отношение площадей секторов: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{14.4\pi}{24\pi} = \frac{14.4}{24} = \frac{3}{5}. \]

Таким образом, отношение площади кругового сектора, соответствующего углу 48°, к площади сектора, ограниченного дугой длиной \( 8\pi \), равно \( \frac{3}{5} \).