Согласовать сказуемое с подлежащим: 1) Молодёжь города принимала активное участие в восстановлении храма. 2) Установлено три новых олимпийских рекорда. 3) На совещание прибыл тридцать один сотрудник. 4) Множество бабочек, пчёл и стрекоз слетелось на цветущий луг. 5) Несколько моих одноклассников принимали участие в городской олимпиаде. 6) Большинство этих картин написано в прошлом году. 7) На протяжении многих веков крестьянство боролось с помещиками. 8) Часть документов хранится в архиве. 9) Большинство проголосовало за утверждение бюджета. 10) Несколько тетрадей лежало на столе.

Согласование сказуемого с подлежащим в ваших предложениях выполняется корректно, но есть некоторые моменты, на которые стоит обратить внимание. Вот исправления для предложений, в которых согласование может быть неверным: 1) Молодёжь города принимала активное участие в восстановлении храма. (Правильно) 2) Установлено три новых олимпийских рекорда. (Правильно) 3) На совещание прибыл тридцать один сотрудник. (Правильно, но можно сказать "прибыли тридцать один сотрудник" для лучшей стилистической ясности) 4) Множество бабочек, пчёл и стрекоз слетелось на цветущий луг. (Правильно) 5) Несколько моих одноклассников принимали участие в городской олимпиаде. (Правильно) 6) Большинство этих картин написано в прошлом году. (Правильно) 7) На протяжении многих веков крестьянство боролось с помещиками. (Правильно) 8) Часть документов хранится в архиве. (Правильно, для "часть" используется единственное число) 9) Большинство проголосовало за утверждение бюджета. (Правильно) 10) Несколько тетрадей лежало на столе. (Ошибка: "лежали" для множественного числа) Правильно: "Несколько тетрадей лежали на столе." Таким образом, все предложения, кроме последнего, согласованы верно. В последнем предложении следовало бы использовать множественное число сказуемого.