Реши
Разберём задачи по порядку.
1. Найдите критические точки функции \( f(x) = 12x - x^3 \).
Для нахождения критических точек необходимо найти производную и приравнять её к нулю:
\[ f'(x) = 12 - 3x^2 \]
Решим уравнение:
\[ 12 - 3x^2 = 0 \]
\[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]
Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( g(x) = 3 + \sqrt{2} \cos x - x^3 \).
Для этого найдём производную и исследуем её знак:
\[ g'(x) = -3x^2 - \sqrt{2} \sin x \]
Исследуем, где производная положительна или отрицательна.
3. Найдите точки экстремума функции \( f(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 3x \).
Найдём производную и решим уравнение:
\[ f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 2x + 3 \]
Приравняем к нулю и найдём решения:
\[ 4x^3 - 6x^2 - 2x + 3 = 0 \]
Для нахождения точных значений можно использовать численные методы или теорему о корнях.
4. Докажите, что функция \( g(x) = 5 - 2x - x^3 - 4x^7 \) на множестве \( \mathbb{R} \) является убывающей.
Для убывания функции её производная должна быть неположительной на всём множестве \(\mathbb{R}\).
\[ g'(x) = -2 - 3x^2 - 28x^6 \]
Так как \( -3x^2 \leq 0 \) и \( -28x^6 \leq 0 \) для любых \( x \), а также \( -2 < 0 \), то сумма этих слагаемых также будет неположительная.
Таким образом, функция \( g(x) \) убывает на \(\mathbb{R}\).
