Для решения данной задачи будем использовать законы сохранения импульса и кинетической энергии.
- Определение скорости совместного движения шариков при неупругом столкновении.
Сначала используем закон сохранения импульса:
[
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v
]
где ( m_1 = 3 , \text{кг} ) (масса первого шарика), ( v_1 = 7 , \text{м/с} ) (скорость первого шарика), ( m_2 = 4 , \text{кг} ) (масса второго покоящегося шарика), ( v_2 = 0 , \text{м/с} ) (скорость второго шарика) и ( v ) - скорость совместного движения после столкновения.
Подставим значения в уравнение:
[
3 \cdot 7 + 4 \cdot 0 = (3 + 4) v
]
[
21 = 7v
]
[
v = \frac{21}{7} = 3 , \text{м/с}
]
Итак, скорость совместного движения шариков после столкновения составляет 3 м/с.
- Определение скорости первого шарика после упругого столкновения.
При упругом столкновении также сохраняются импульс и кинетическая энергия. Используем тот же закон сохранения импульса:
[
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'
]
где ( v_1' ) - скорость первого шарика после столкновения, а ( v_2' = 3 , \text{м/с} ) (скорость второго шарика после столкновения).
Подставляем значения:
[
3 \cdot 7 + 4 \cdot 0 = 3v_1' + 4 \cdot 3
]
[
21 = 3v_1' + 12
]
[
3v_1' = 21 - 12
]
[
3v_1' = 9
]
[
v_1' = \frac{9}{3} = 3 , \text{м/с}
]
Теперь используем закон сохранения кинетической энергии:
[
\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2
]
[
\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (v_1')^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^2
]
Упростим:
[
\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 49 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (v_1')^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9
]
[
73.5 = \frac{3}{2}(v_1')^2 + 18
]
[
73.5 - 18 = \frac{3}{2}(v_1')^2
]
[
55.5 = \frac{3}{2}(v_1')^2
]
[
(v_1')^2 = \frac{55.5 \cdot 2}{3} = \frac{111}{3} = 37
]
[
v_1' = \sqrt{37} \approx 6.08 , \text{м/с}
]
Таким образом, скорость первого шарика после упругого столкновения составляет примерно 6.08 м/с.
