Для нахождения объёма шара, описанного около куба, сначала необходимо определить радиус этого шара.
Пусть ( a ) — длина ребра куба. Тогда радиус ( R ) описанного шара можно найти по формуле:
[
R = \frac{a \sqrt{3}}{2}
]
(где ( a \sqrt{3} ) — это расстояние от центра куба до его вершины).
Теперь, объём шара вычисляется по формуле:
[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
]
Подставим ( R = \frac{a \sqrt{3}}{2} ):
[
V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^3
]
[
V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{a^3 \cdot 3 \sqrt{3}}{8} = \frac{4 \cdot 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 8} \pi a^3
]
[
V = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi a^3
]
Теперь, если известно, что длина ребра куба ( a = 9 ), то подставим это значение в формулу:
[
V = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi (9^3)
]
[
= \frac{\sqrt{3}}{2} \pi \cdot 729
]
[
= \frac{729 \sqrt{3}}{2} \pi
]
Таким образом, объём шара, описанного около куба с ребром 9, равен:
[
\frac{729 \sqrt{3}}{2} \pi
]
