построить график функции f(x) =x³-2x²+x+3 на отрезке [-1;2]

Чтобы построить график функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) на отрезке \([-1; 2]\), нужно:

1. Найти значения функции на краевых точках отрезка:

   • \( f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 - 2 - 1 + 3 = -1 \)
   • \( f(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + (2) + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5 \)

2. Найти критические точки, для этого вычислим производную и найдем корни:

   • \( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)
   • Решим уравнение \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   • \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \)
   • Корни: \( x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \)

3. Вычислим значения функции в критических точках:

   • \( f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \)
   • \( f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right) + 3 \approx 3.3704 \)

4. Итоговые значения функции на нужном отрезке:

   • \( f(-1) = -1 \)
   • \( f\left(\frac{1}{3}\right) \approx 3.37 \)
   • \( f(1) = 3 \)
   • \( f(2) = 5 \)

На отрезке \([-1; 2]\) функция достигает значений от -1 до 5.

Ответ: Построенный график функции будет иметь диапазон от -1 до 5 на отрезке \([-1; 2]\).