Игральный кубик бросают 20 рез. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. Ответ округлите до тысячных.
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае, мы бросаем игральный кубик 20 раз, и нас интересует вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз.
Обозначим:
- \( n = 20 \) (общее количество бросков),
- \( k = 7 \) (количество успешных исходов, т.е. выпадение шестёрки),
- \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность выпадения шестёрки при одном броске),
- \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \) (вероятность не выпадения шестёрки).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- Подставляем всё в формулу:
\[ P(X = 7) = \binom{20}{7} \left(\frac{1}{6}\right)^7 \left(\frac{5}{6}\right)^{20-7} \]
- Сначала находим биномиальный коэффициент:
\[ \binom{20}{7} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520 \]
- Теперь подставим это в формулу вероятности:
\[ P(X = 7) = 77520 \left(\frac{1}{6}\right)^7 \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \]
- Рассчитаем \( \left(\frac{1}{6}\right)^7 \) и \( \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \):
\[ \left(\frac{1}{6}\right)^7 \approx 0.000021433 \]
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0.40724 \]
- Теперь подставляем эти величины в окончательную формулу:
\[ P(X = 7) = 77520 \times 0.000021433 \times 0.40724 \approx 0.6653 \]
- Округляем до тысячных:
\[ P(X = 7) \approx 0.665 \]
Таким образом, вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз при 20 бросках кубика, составляет примерно 0.665.
