Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае, мы бросаем игральный кубик 20 раз, и нас интересует вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз.
Обозначим:
- ( n = 20 ) (общее количество бросков),
- ( k = 7 ) (количество успешных исходов, т.е. выпадение шестёрки),
- ( p = \frac{1}{6} ) (вероятность выпадения шестёрки при одном броске),
- ( q = 1 - p = \frac{5}{6} ) (вероятность не выпадения шестёрки).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
где (\binom{n}{k}) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
- Подставляем всё в формулу:
[
P(X = 7) = \binom{20}{7} \left(\frac{1}{6}\right)^7 \left(\frac{5}{6}\right)^{20-7}
]
- Сначала находим биномиальный коэффициент:
[
\binom{20}{7} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520
]
- Теперь подставим это в формулу вероятности:
[
P(X = 7) = 77520 \left(\frac{1}{6}\right)^7 \left(\frac{5}{6}\right)^{13}
]
- Рассчитаем ( \left(\frac{1}{6}\right)^7 ) и ( \left(\frac{5}{6}\right)^{13} ):
[
\left(\frac{1}{6}\right)^7 \approx 0.000021433
]
[
\left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0.40724
]
- Теперь подставляем эти величины в окончательную формулу:
[
P(X = 7) = 77520 \times 0.000021433 \times 0.40724 \approx 0.6653
]
- Округляем до тысячных:
[
P(X = 7) \approx 0.665
]
Таким образом, вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз при 20 бросках кубика, составляет примерно 0.665.
