сторона квадрата равна а.на его сторонах от каждой вершины отложени отрезки равные половине диогонали.в результате получился восьмиугольник

Для нахождения координат вершин восьмиугольника, образованного в результате данной операции, сначала нужно вычислить длину диагонали квадрата.

1. Длина стороны квадрата равна \( a \).
2. Длина диагонали квадрата \( d \) вычисляется по формуле:

\[ d = a \sqrt{2} \]

Итак, половина диагонали будет равна:

\[ \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь рассмотрим квадрат, заданный вершинами:

• \( (0, 0) \)
• \( (a, 0) \)
• \( (a, a) \)
• \( (0, a) \)

Теперь от каждой вершины отложим отрезки длиной \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \) в сторону по направлению, перпендикулярному к сторонам квадрата.

Для этого будем рассматривать каждую вершину по отдельности:

1. От вершины \( (0, 0) \) отложим отрезок в сторону \( (a, 0) \) и вверх:

   • Новая вершина \( A_1 \) будет \( \left( \frac{a \sqrt{2}}{2}, 0 \right) \) и \( A_2 \) будет \( \left( 0, \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \).

2. От вершины \( (a, 0) \):

   • Новая вершина \( B_1 \) будет \( \left( a - \frac{a \sqrt{2}}{2}, 0 \right) = \left( a \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right), 0 \right) \)
   • Новая вершина \( B_2 \) будет \( \left( a, \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \).

3. От вершины \( (a, a) \):

   • Новая вершина \( C_1 \) будет \( \left( a, a - \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \).
   • Новая вершина \( C_2 \) будет \( \left( a - \frac{a \sqrt{2}}{2}, a \right) \).

4. От вершины \( (0, a) \):

   • Новая вершина \( D_1 \) будет \( \left( 0, a - \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \).
   • Новая вершина \( D_2 \) будет \( \left( \frac{a \sqrt{2}}{2}, a \right) \).

Объединив все новые вершины, мы получаем 8 вершин, определяющих восьмиугольник.

В результате, координаты вершин восьмиугольника будут:

1. \( \left( \frac{a \sqrt{2}}{2}, 0 \right) \)
2. \( \left( a, \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \)
3. \( \left( a - \frac{a \sqrt{2}}{2}, a \right) \)
4. \( \left( 0, a - \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \)
5. \( \left( 0, \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \)
6. \( \left( a - \frac{a \sqrt{2}}{2}, 0 \right) \)
7. \( \left( a, a - \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \)
8. \( \left( \frac{a \sqrt{2}}{2}, a \right) \)

Этот восьмиугольник будет равнобедренным и симметричным относительно центра квадрата.