Подчеркну грамматические основы и расставь знаки препинания Народная мудрость сумела разгадать многочисленные лечебные тайны этого дерева, вот почему за помощью к нему обращаются…

В данном предложении грамматическая основа состоит из подлежащего и сказуемого. Определим их:

• Подлежащее: "Народная мудрость"
• Сказуемое: "сумела разгадать"

Теперь выделим знаки препинания.

Правильное оформление предложения:

Народная мудрость сумела разгадать многочисленные лечебные тайны этого дерева, вот почему за помощью к нему обращаются при самых разных недугах: кашле, простуде, ангине, ожогах.

Предложение выделено грамматически правильно, и знаки препинания расставлены корректно.

Так что ваш текст уже оформлен верно.