2. Один из катетов прямоугольного треугольника на 14 см больше другого, а гипотенуза равна 2 v 65 см. Найдите катеты этого треугольника.
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \), где \( a < b \). По условию задачи имеем:
- \( b = a + 14 \) (один катет на 14 см больше другого)
- Гипотенуза \( c = 2\sqrt{65} \)
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется уравнение:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим выражение для \( b \):
\[ a^2 + (a + 14)^2 = (2\sqrt{65})^2 \]
Посчитаем \( (2\sqrt{65})^2 \):
\[ (2\sqrt{65})^2 = 4 \cdot 65 = 260 \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ a^2 + (a + 14)^2 = 260 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (a^2 + 28a + 196) = 260 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ 2a^2 + 28a + 196 = 260 \]
Переносим 260 на левую сторону:
\[ 2a^2 + 28a + 196 - 260 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ 2a^2 + 28a - 64 = 0 \]
Упростим уравнение, деля на 2:
\[ a^2 + 14a - 32 = 0 \]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 14 \), \( c = -32 \):
\[ b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 \]
Теперь находим корни:
\[ a = \frac{-14 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{-14 \pm 18}{2} \]
Это дает два возможных значения для \( a \):
- \( a = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( a = \frac{-32}{2} = -16 \) (отрицательное значение не подходит)
Следовательно, \( a = 2 \). Теперь найдем \( b \):
\[ b = a + 14 = 2 + 14 = 16 \]
Таким образом, катеты треугольника равны:
\[ a = 2 \, \text{см}, \quad b = 16 \, \text{см} \]
