Обозначим катеты прямоугольного треугольника как ( a ) и ( b ), где ( a < b ). По условию задачи имеем:
- ( b = a + 14 ) (один катет на 14 см больше другого)
- Гипотенуза ( c = 2\sqrt{65} )
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется уравнение:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставим выражение для ( b ):
[
a^2 + (a + 14)^2 = (2\sqrt{65})^2
]
Посчитаем ( (2\sqrt{65})^2 ):
[
(2\sqrt{65})^2 = 4 \cdot 65 = 260
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
a^2 + (a + 14)^2 = 260
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (a^2 + 28a + 196) = 260
]
Объединим подобные слагаемые:
[
2a^2 + 28a + 196 = 260
]
Переносим 260 на левую сторону:
[
2a^2 + 28a + 196 - 260 = 0
]
Это упрощается до:
[
2a^2 + 28a - 64 = 0
]
Упростим уравнение, деля на 2:
[
a^2 + 14a - 32 = 0
]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 14 ), ( c = -32 ):
[
b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324
]
Теперь находим корни:
[
a = \frac{-14 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1}
]
[
a = \frac{-14 \pm 18}{2}
]
Это дает два возможных значения для ( a ):
- ( a = \frac{4}{2} = 2 )
- ( a = \frac{-32}{2} = -16 ) (отрицательное значение не подходит)
Следовательно, ( a = 2 ). Теперь найдем ( b ):
[
b = a + 14 = 2 + 14 = 16
]
Таким образом, катеты треугольника равны:
[
a = 2 , \text{см}, \quad b = 16 , \text{см}
]
