8. Решите графически уравнение 6/x = 7 - x
Чтобы решить уравнение \( \frac{6}{x} = 7 - x \) графически, мы можем представить обе стороны уравнения как функции и найти их точки пересечения.
Перепишем уравнение в удобной форме: \[ y_1 = \frac{6}{x} \] \[ y_2 = 7 - x \]
Построим графики этих функций.
- Для \( y_1 = \frac{6}{x} \) мы получаем гиперболу, которая существует для \( x \neq 0 \).
- Для \( y_2 = 7 - x \) это прямая с наклоном -1 и пересечением на оси y в точке 7.
Найдем точки пересечения графиков.
Переносим \( 7 - x \) в левую часть: \[ \frac{6}{x} - (7 - x) = 0 \]
Упростим: \[ \frac{6}{x} - 7 + x = 0 \implies \frac{6}{x} + x - 7 = 0 \]
Умножаем обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ 6 + x^2 - 7x = 0 \] \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \] Используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]
Найдем корни: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1 \]
Таким образом, точки пересечения, и, следовательно, решения уравнения \( \frac{6}{x} = 7 - x \): \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 6 \]
- Значения \( y \) в этих точках: Для \( x = 1 \): \[ y = 7 - 1 = 6 \] Для \( x = 6 \): \[ y = 7 - 6 = 1 \]
Таким образом, графически уравнение решается в точках \( (1, 6) \) и \( (6, 1) \). Оба значения \( x = 1 \) и \( x = 6 \) являются решениями уравнения.
