В равнобедренном треугольнике ( ABC ) с углами ( \angle A = 30^\circ ) и ( \angle C = 30^\circ ) угол ( \angle B ) будет равен ( 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ ). Сторона ( AV ) равна 4 см, что является одной из равных сторон треугольника.
Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где ( a ), ( b ), ( c ) — длины сторон треугольника, а ( S ) — площадь треугольника.
- Определим длину стороны ( BC ) с помощью теоремы косинусов:
[
BC^2 = AV^2 + AC^2 - 2 \cdot AV \cdot AC \cdot \cos(B)
]
В нашем случае ( AV = AC = 4 ) см, и угол ( B = 120^\circ ).
[
BC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)
]
[
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}
]
[
BC^2 = 16 + 16 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}
]
[
BC^2 = 16 + 16 + 16 = 48
]
[
BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}
]
- Найдем теперь площадь треугольника:
Площадь ( S ) треугольника можно найти с помощью формулы:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AV \cdot AC \cdot \sin(B)
]
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(120^\circ)
]
[
\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2
]
- Наконец, подставляем значения в формулу для радиуса ( R ):
Стороны треугольника:
- ( a = 4 ) см
- ( b = 4 ) см
- ( c = 4\sqrt{3} ) см
Теперь считаем радиус:
[
R = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3}}{4 \cdot 8\sqrt{3}}
]
[
R = \frac{64\sqrt{3}}{32\sqrt{3}} = 2 \text{ см}
]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ( ABC ), равен ( 2 ) см.
