Решить уравнение с помощью замены 5sinx+cosx =5
Чтобы решить уравнение \( 5\sin x + \cos x = 5 \), начнём с изолирования тригонометрических функций. Перепишем уравнение:
\[ 5\sin x + \cos x - 5 = 0 \]
Теперь можно выразить \(\cos x\) через \(\sin x\):
\[ \cos x = 5 - 5\sin x \]
Мы знаем, что \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставляем выражение для \(\cos x\):
\[ \sin^2 x + (5 - 5\sin x)^2 = 1 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ \sin^2 x + (25 - 50\sin x + 25\sin^2 x) = 1 \]
Соберем все члены:
\[ 26\sin^2 x - 50\sin x + 24 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(\sin x\) с помощью формулы квадратного уравнения:
\[ a = 26, \quad b = -50, \quad c = 24 \]
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 24 = 2500 - 2496 = 4 \]
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 2}{52} \]
Теперь найдем два корня:
- \(\sin x = \frac{50 + 2}{52} = \frac{52}{52} = 1\)
- \(\sin x = \frac{50 - 2}{52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}\)
Теперь решим каждое из значений:
Для \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Для \(\sin x = \frac{12}{13}\): Используем арксинус: \[ x = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, общее решение уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
