Решить уравнение с помощью замены 5sinx+cosx =5

Чтобы решить уравнение \( 5\sin x + \cos x = 5 \), начнём с изолирования тригонометрических функций. Перепишем уравнение: \[ 5\sin x + \cos x - 5 = 0 \] Теперь можно выразить \(\cos x\) через \(\sin x\): \[ \cos x = 5 - 5\sin x \] Мы знаем, что \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставляем выражение для \(\cos x\): \[ \sin^2 x + (5 - 5\sin x)^2 = 1 \] Теперь раскроем скобки: \[ \sin^2 x + (25 - 50\sin x + 25\sin^2 x) = 1 \] Соберем все члены: \[ 26\sin^2 x - 50\sin x + 24 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(\sin x\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ a = 26, \quad b = -50, \quad c = 24 \] Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 24 = 2500 - 2496 = 4 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 2}{52} \] Теперь найдем два корня: 1. \(\sin x = \frac{50 + 2}{52} = \frac{52}{52} = 1\) 2. \(\sin x = \frac{50 - 2}{52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}\) Теперь решим каждое из значений: 1. Для \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Для \(\sin x = \frac{12}{13}\): Используем арксинус: \[ x = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]