Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой…

Рассмотрим куб со стороной \( a \). Объём куба будет равен \( V_{\text{куба}} = a^3 \).

Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины куба. Обозначим вершину куба, из которой выходят рёбра, как \( O \), и пусть рёбра, выходящие из этой вершины, направлены по осям \( x \) и \( y \). Обозначим третье ребро, выходящее из вершины \( O \), как направленное по оси \( z \).

Середины рёбер, выходящих из вершины \( O \):

• Первая вершина (середина) \( A = (a/2, 0, 0) \)
• Вторая вершина (середина) \( B = (0, a/2, 0) \)

Плоскость, проходящая через точки \( A \) и \( B \) и параллельная третьему ребру (осе \( z \)), будет перпендикулярна вектору, соединяющему пункты \( A \) и \( B \). Этот вектор равен \( \vec{AB} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \).

Поскольку плоскость параллельна оси \( z \), уравнение плоскости можно записать в виде: \[ \frac{x}{a/2} + \frac{y}{a/2} = 1 \] или \[ x + y = a. \]

Теперь, чтобы найти объём треугольной призмы, мы можем взять сечение, образованное этой плоскостью.

Проверим, каковы основания призмы. Это треугольник, который имеет вершины в точках:

• \( O = (0, 0, 0) \)
• \( A = (a/2, 0, 0) \)
• \( B = (0, a/2, 0) \)

Данная призма образует треугольник с основаниями:

• Длина стороны \( OA = \frac{a}{2} \)
• Длина стороны \( OB = \frac{a}{2} \)
• Длина гипотенузы \( AB \) может быть найдена через теорему Пифагора: \[ AB = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}. \]

Площадь треугольника \( \Delta \) будет равна: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}. \]

Теперь высота призмы будет равна стороне \( a \) куба. Таким образом, объём призмы равен: \[ V_{\text{призмы}} = S \times h = \frac{a^2}{8} \times a = \frac{a^3}{8}. \]

По условию задачи известно, что объём призмы равен \( 1520.875 \): \[ \frac{a^3}{8} = 1520.875. \] Умножим обе стороны на 8: \[ a^3 = 12166.96. \]

Теперь найдём объём куба: \[ V_{\text{куба}} = a^3 = 12166.96. \]

Таким образом, объём куба равен \( 12166.96 \).