Рассмотрим куб со стороной ( a ). Объём куба будет равен ( V_{\text{куба}} = a^3 ).
Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины куба. Обозначим вершину куба, из которой выходят рёбра, как ( O ), и пусть рёбра, выходящие из этой вершины, направлены по осям ( x ) и ( y ). Обозначим третье ребро, выходящее из вершины ( O ), как направленное по оси ( z ).
Середины рёбер, выходящих из вершины ( O ):
- Первая вершина (середина) ( A = (a/2, 0, 0) )
- Вторая вершина (середина) ( B = (0, a/2, 0) )
Плоскость, проходящая через точки ( A ) и ( B ) и параллельная третьему ребру (осе ( z )), будет перпендикулярна вектору, соединяющему пункты ( A ) и ( B ). Этот вектор равен ( \vec{AB} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) ).
Поскольку плоскость параллельна оси ( z ), уравнение плоскости можно записать в виде:
[
\frac{x}{a/2} + \frac{y}{a/2} = 1
]
или
[
x + y = a.
]
Теперь, чтобы найти объём треугольной призмы, мы можем взять сечение, образованное этой плоскостью.
Проверим, каковы основания призмы. Это треугольник, который имеет вершины в точках:
- ( O = (0, 0, 0) )
- ( A = (a/2, 0, 0) )
- ( B = (0, a/2, 0) )
Данная призма образует треугольник с основаниями:
- Длина стороны ( OA = \frac{a}{2} )
- Длина стороны ( OB = \frac{a}{2} )
- Длина гипотенузы ( AB ) может быть найдена через теорему Пифагора:
[
AB = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}.
]
Площадь треугольника ( \Delta ) будет равна:
[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}.
]
Теперь высота призмы будет равна стороне ( a ) куба. Таким образом, объём призмы равен:
[
V_{\text{призмы}} = S \times h = \frac{a^2}{8} \times a = \frac{a^3}{8}.
]
По условию задачи известно, что объём призмы равен ( 1520.875 ):
[
\frac{a^3}{8} = 1520.875.
]
Умножим обе стороны на 8:
[
a^3 = 12166.96.
]
Теперь найдём объём куба:
[
V_{\text{куба}} = a^3 = 12166.96.
]
Таким образом, объём куба равен ( 12166.96 ).
