Докажите или опровергните (xy)→z≡(x→y)∨(y→z)

Чтобы доказать или опровергнуть равенство логических выражений \((xy) \to z\) и \((x \to y) \lor (y \to z)\), мы можем использовать метод таблицы истинности.

Давайте обозначим:

• \( A = xy \)
• \( B = z \)
• \( C = (x \to y) \lor (y \to z) \)

Мы будем проверять, истинны ли \( A \to B \) и \( C \) одновременно для всех возможных комбинаций значений \( x \), \( y \) и \( z \).

1. Определим значения операций:

   • \( xy \) соответствует конъюнкции (и).
   • \( x \to y \) соответствует импликации (если x, то y), что можно выразить как \( \neg x \lor y \).
   • \( y \to z \) также является импликацией, или \( \neg y \lor z \).
   • Объединение \( (x \to y) \lor (y \to z) \) эквивалентно \( (\neg x \lor y) \lor (\neg y \lor z) \).

2. Построим таблицу истинности:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & z & xy & (xy) \to z & x \to y & y \to z & (x \to y) \lor (y \to z) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \]

3. Анализируем результаты:

• В колонке для \((xy) \to z\) (пятая колонка) значения: \(1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1\).
• В колонке для \((x \to y) \lor (y \to z)\) (последняя колонка) значения: \(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\).

4. Сравнение значений: Как видно из таблицы, обе формулы дают одинаковые значения, за исключением одного случая: когда \( x = 1, y = 1, z = 0 \).

Таким образом, выражение \((xy) \to z\) не эквивалентно \((x \to y) \lor (y \to z)\).

Ответ: Равенство \((xy) \to z \equiv (x \to y) \lor (y \to z)\) опровергнуто.