Сначала напомним формулу для скалярного произведения вектора ( \mathbf{a} ) и вектора ( \mathbf{b} ):
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta
]
где ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины векторов, а ( \theta ) — угол между ними.
Дано:
- ( |m| = 5 )
- ( |n| = 2\sqrt{2} )
- Угол между ( m ) и ( n ) равен ( 135^\circ )
Сначала найдем скалярное произведение векторов ( m ) и ( n ):
[
m \cdot n = |m| |n| \cos(135^\circ)
]
(
\cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}
)
Теперь подставим значения:
[
m \cdot n = 5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 5 \cdot 2 \cdot (-1) = -10
]
Теперь найдем скалярное произведение векторов ( m - n ) и ( 3m + n ):
[
(m - n) \cdot (3m + n) = m \cdot (3m + n) - n \cdot (3m + n)
]
Первое слагаемое:
[
m \cdot (3m + n) = 3m \cdot m + m \cdot n = 3|m|^2 + m \cdot n
]
Подставим значения:
[
= 3 \cdot 5^2 - 10 = 3 \cdot 25 - 10 = 75 - 10 = 65
]
Теперь второе слагаемое:
[
n \cdot (3m + n) = 3n \cdot m + n \cdot n = 3(m \cdot n) + |n|^2
]
Подставим значения:
[
= 3(-10) + (2\sqrt{2})^2 = -30 + 8 = -22
]
Теперь подставим оба результата обратно:
[
(m - n) \cdot (3m + n) = 65 - (-22) = 65 + 22 = 87
]
Таким образом, скалярное произведение ( m - n ) и ( 3m + n ) равно 87.
