найди скалярное произведение m-n и 3m+n , если |m|=5 , |n|=2 корень из 2 , mn=135 градусов

Сначала напомним формулу для скалярного произведения вектора \( \mathbf{a} \) и вектора \( \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \]

где \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними.

Дано:

• \( |m| = 5 \)
• \( |n| = 2\sqrt{2} \)
• Угол между \( m \) и \( n \) равен \( 135^\circ \)

Сначала найдем скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \):

\[ m \cdot n = |m| |n| \cos(135^\circ) \]

\( \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Теперь подставим значения:

\[ m \cdot n = 5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 5 \cdot 2 \cdot (-1) = -10 \]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \( m - n \) и \( 3m + n \):

\[ (m - n) \cdot (3m + n) = m \cdot (3m + n) - n \cdot (3m + n) \]

Первое слагаемое:

\[ m \cdot (3m + n) = 3m \cdot m + m \cdot n = 3|m|^2 + m \cdot n \]

Подставим значения:

\[ = 3 \cdot 5^2 - 10 = 3 \cdot 25 - 10 = 75 - 10 = 65 \]

Теперь второе слагаемое:

\[ n \cdot (3m + n) = 3n \cdot m + n \cdot n = 3(m \cdot n) + |n|^2 \]

Подставим значения:

\[ = 3(-10) + (2\sqrt{2})^2 = -30 + 8 = -22 \]

Теперь подставим оба результата обратно:

\[ (m - n) \cdot (3m + n) = 65 - (-22) = 65 + 22 = 87 \]

Таким образом, скалярное произведение \( m - n \) и \( 3m + n \) равно 87.