Бригада рабочих трудилась на заливке катка на большом и малом полях, причём площадь большого поля в 2 раза больше площади малого поля. В той части бригады, которая работала на…
Бригада рабочих трудилась на заливке катка на большом и малом полях, причём площадь большого поля в 2 раза больше площади малого поля. В той части бригады, которая работала на большом поле, было на 4 рабочих больше, чем в той части, которая работала на малом поле. Когда заливка большого катка закончилась, часть бригады, которая была на малом поле, ещё работала. Какое наибольшее число рабочих могло быть в порядке?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные и посмотреть, как связаны площади полей и количество рабочих.
Обозначим переменные:
- Пусть площадь малого поля равна \( S \).
- Тогда площадь большого поля равна \( 2S \) (так как площадь большого поля в 2 раза больше).
Обозначим количество рабочих:
- Пусть число рабочих на малом поле равно \( x \).
- Тогда число рабочих на большом поле будет \( x + 4 \) (так как на большом поле на 4 рабочих больше).
Рассмотрим время заливки катков:
- Обозначим время, затраченное на заливку малого поля, как \( t_m \).
- Обозначим время, затраченное на заливку большого поля, как \( t_b \).
Предположение о том, сколько работы может сделать один рабочий: Допустим, один рабочий заливает \( k \) квадратных метров за единицу времени. Тогда:
- Рабочие на большом поле за время \( t_b \) залили площадь \( 2S \): \[ (x + 4) \cdot k \cdot t_b = 2S \]
- Рабочие на малом поле за время \( t_m \) залили площадь \( S \): \[ x \cdot k \cdot t_m = S \]
Выразим \( t_b \) и \( t_m \): Из первого уравнения получаем: \[ t_b = \frac{2S}{(x + 4) \cdot k} \] Из второго уравнения: \[ t_m = \frac{S}{x \cdot k} \]
Поскольку после завершения работы на большом поле, рабочие на малом поле всё ещё работали, значит: \[ t_b < t_m \]
Подставим выражения для \( t_b \) и \( t_m \): \[ \frac{2S}{(x + 4) \cdot k} < \frac{S}{x \cdot k} \] Упростим это неравенство, исключив \( S \cdot k \) (предполагаем, что \( S \) и \( k \) не равны нулю): \[ \frac{2}{x + 4} < \frac{1}{x} \]
Перемножим на \( x(x + 4) \) (при \( x > 0 \)): \[ 2x < x + 4 \] Переносим все члены в одну сторону: \[ 2x - x < 4 \] \[ x < 4 \]
Это значит, что на малом поле может работать не более 3 рабочих (так как \( x \) — натуральное число).
- Подсчитаем общее количество рабочих: Мы знаем, что на большом поле работает \( x + 4 \). Если \( x = 3 \): \[ x + 4 = 3 + 4 = 7 \]
Таким образом, наибольшее количество рабочих, которое могло быть в порядке, равно 7.
