Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов,12 раз бросив монету.

Чтобы найти вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты, мы можем использовать формулу для биномиального распределения. Основные шаги решения: 1. **Определяем параметры:** - Количество бросков монеты \( n = 12 \). - Количество успешных исходов (орлов) \( k = 7 \). - Вероятность успеха в одном испытании (выбросить орла) \( p = 0.5 \) (так как монета честная). 2. **Формула биномиального распределения:** Вероятность получить ровно \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях с вероятностью успеха \( p \) рассчитывается по формуле: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] 3. **Подставляем значения:** - Сначала вычисляем биномиальный коэффициент \( \binom{12}{7} \): \[ \binom{12}{7} = \frac{12!}{7!(12-7)!} = \frac{12!}{7!5!} \] Вычислим факториалы: - \( 12! = 479001600 \) - \( 7! = 5040 \) - \( 5! = 120 \) Теперь подставим: \[ \binom{12}{7} = \frac{479001600}{5040 \times 120} = \frac{479001600}{604800} = 792 \] 4. **Теперь подставим всё в формулу вероятности:** \[ P(X = 7) = \binom{12}{7} (0.5)^7 (0.5)^{12-7} = 792 \times (0.5)^{12} \] Мы знаем, что \( (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} \). Подставляем это значение: \[ P(X = 7) = 792 \times \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} \] 5. **Упрощаем дробь:** Разделим 792 и 4096 на 16: \[ 792 \div 16 = 49.5 \quad (не целое; не упрощаем здесь) \] \[ 4096 \div 16 = 256 \] Таким образом, конечный ответ в упрощенном виде будет: \[ P(X = 7) = \frac{99}{512} \] 6. **Заключение:** Вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты составляет \(\frac{99}{512}\). Это детальное решение показывает, как использовать биномиальное распределение для расчета вероятности конкретного исхода в вопросах вероятности.