Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов,12 раз бросив монету.
Чтобы найти вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты, мы можем использовать формулу для биномиального распределения. Основные шаги решения:
Определяем параметры:
- Количество бросков монеты \( n = 12 \).
- Количество успешных исходов (орлов) \( k = 7 \).
- Вероятность успеха в одном испытании (выбросить орла) \( p = 0.5 \) (так как монета честная).
Формула биномиального распределения: Вероятность получить ровно \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях с вероятностью успеха \( p \) рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
Где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Подставляем значения:
- Сначала вычисляем биномиальный коэффициент \( \binom{12}{7} \):
\[ \binom{12}{7} = \frac{12!}{7!(12-7)!} = \frac{12!}{7!5!} \]
Вычислим факториалы:
- \( 12! = 479001600 \)
- \( 7! = 5040 \)
- \( 5! = 120 \)
Теперь подставим:
\[ \binom{12}{7} = \frac{479001600}{5040 \times 120} = \frac{479001600}{604800} = 792 \]
Теперь подставим всё в формулу вероятности:
\[ P(X = 7) = \binom{12}{7} (0.5)^7 (0.5)^{12-7} = 792 \times (0.5)^{12} \]
Мы знаем, что \( (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} \).
Подставляем это значение:
\[ P(X = 7) = 792 \times \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} \]
Упрощаем дробь:
Разделим 792 и 4096 на 16:
\[ 792 \div 16 = 49.5 \quad (не целое; не упрощаем здесь) \]
\[ 4096 \div 16 = 256 \]
Таким образом, конечный ответ в упрощенном виде будет:
\[ P(X = 7) = \frac{99}{512} \]
Заключение: Вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты составляет \(\frac{99}{512}\).
Это детальное решение показывает, как использовать биномиальное распределение для расчета вероятности конкретного исхода в вопросах вероятности.
