Проектор полностью освещает настенный экран высотой 89 см, расположенный на расстоянии 2,2 м от него. Отношение ширины экрана к высоте (формат экрана) равно 16 : 9. Данный экран…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализа информации, представленной в условии. У нас есть два экрана данного формата, и нам нужно рассчитать новое расстояние, на котором нужно установить проектор в соответствии с новыми размерами экрана.

Шаг 1: Определим размеры экранов

1. Старый экран:

   • Высота: 89 см
   • Формат: 16:9

   Чтобы вычислить ширину старого экрана, используем соотношение: \[ \text{Ширина} = \text{Высота} \times \frac{16}{9} = 89 \times \frac{16}{9} \approx 157.33 \, \text{см} \]

2. Новый экран:

   • Высота: 114 см
   • Формат: 16:9

   Для нового экрана ширина вычисляется аналогичным образом: \[ \text{Ширина} = 114 \times \frac{16}{9} \approx 202.67 \, \text{см} \]

Шаг 2: Определим отношения размеров экранов

Теперь мы знаем, что:

• Старый экран имел размеры 157.33 см (ширина) и 89 см (высота).
• Новый экран имеет размеры 202.67 см (ширина) и 114 см (высота).

Шаг 3: Рассчитаем новое расстояние для проектора

Согласно условию задачи, старый экран установлен на расстоянии 2.2 м (или 220 см) от проектора. Поскольку мы хотим, чтобы проектор по-прежнему освещал экран точно так же, мы можем использовать пропорцию между высотой старого и нового экранов, чтобы найти новое расстояние.

Используем пропорцию между высотами: \[ \frac{\text{Новое расстояние}}{220 \, \text{см}} = \frac{114 \, \text{см}}{89 \, \text{см}} \]

Обозначим новое расстояние как \( x \): \[ x \cdot 89 = 114 \cdot 220 \] \[ x = \frac{114 \cdot 220}{89} \]

Шаг 4: Вычислим значение

Теперь просто подставим значения и вычислим: \[ x = \frac{25080}{89} \approx 282.03 \, \text{см} \]

Шаг 5: Ответ

Преобразуем см в метры: \[ x \approx 2.82 \, \text{м} \]

Таким образом, проектор необходимо установить на расстоянии примерно 2.82 м от нового настенного экрана, чтобы он был полностью освещён.