Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам нужно найти значение выражения:
[ 67 \cdot \frac{1}{6} - 78 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2. ]
Шаг 1: Подсчет (67 \cdot \frac{1}{6})
Сначала рассчитаем первое слагаемое:
[
67 \cdot \frac{1}{6} = \frac{67}{6}.
]
Шаг 2: Подсчет (\left(\frac{1}{6}\right)^2)
Теперь найдём квадрат (\frac{1}{6}):
[
\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}.
]
Шаг 3: Подсчет (78 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2)
Теперь подставим найденное значение в выражение:
[
78 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 78 \cdot \frac{1}{36}.
]
Теперь упростим:
[
78 \cdot \frac{1}{36} = \frac{78}{36}.
]
Мы можем сократить дробь:
(\frac{78}{36} = \frac{13}{6}) (обе части делятся на 6).
Шаг 4: Подсчет всей операции
Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
[
\frac{67}{6} - \frac{13}{6}.
]
Так как у нас одинаковые знаменатели, мы можем просто вычесть числители:
[
\frac{67 - 13}{6} = \frac{54}{6}.
]
Шаг 5: Упростим конечный результат
Теперь упростим дробь:
[
\frac{54}{6} = 9.
]
Ответ
Таким образом, значение данного выражения равно:
[
\boxed{9}.
]
