Выбери формулу вероятности события «наступило 4 успеха в серии из 14 испытаний Бернулли».
Чтобы понять, как выбрать формулу вероятности события «наступило 4 успеха в серии из 14 испытаний Бернулли», нужно разобраться с основами теории вероятностей, особенно с распределением Бернулли и биномиальным распределением.
Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли
Испытание Бернулли — это статистическое испытание, в котором два возможных результата: успех (например, "да") и неудача (например, "нет"). Мы будем использовать биномиальное распределение, чтобы вычислить вероятность события в последовательности независимых испытаний.
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что в серии из \( n \) испытаний произойдет \( k \) успехов, рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность получить \( k \) успехов,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успехов, которое мы хотим получить,
- \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании,
- \( (1 - p) \) — вероятность неудачи,
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \) — биномиальный коэффициент, который показывает, сколько различных способов можно выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний.
Шаг 3: Подстановка значений
В вашей задаче:
- \( n = 14 \) (общее количество испытаний),
- \( k = 4 \) (мы хотим получить 4 успеха),
- \( p \) (вероятность успеха в одном испытании) — это значение нужно знать, чтобы подставить в формулу. Предположим, что \( p \) = 0,5 (это частый случай, когда вероятность успеха равна вероятности неудачи).
Шаг 4: Расчет вероятности
- Найдем биномиальный коэффициент \( C(14, 4) \):
\[ C(14, 4) = \frac{14!}{4!(14 - 4)!} = \frac{14!}{4! \cdot 10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001 \]
- Подставим значения в формулу:
\[ P(X = 4) = C(14, 4) \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{14 - 4} \]
Для \( p = 0.5 \):
\[ P(X = 4) = 1001 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{10} \] \[ = 1001 \cdot (0.5)^{14} = 1001 \cdot \frac{1}{16384} \approx 0.0616455078125 \]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, вероятность того, что наступит 4 успеха в серии из 14 испытаний, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.5, примерно равна 0.0616 или 6.16%.
Если вам понадобятся дополнительные разъяснения по конкретным шагам или другим вопросам, пожалуйста, дайте знать!
