xy+x²=3 y²+5xy(x+y)=19
Для решения системы уравнений:
- \( xy + x^2 = 3 \) (Уравнение 1)
- \( y^2 + 5xy(x+y) = 19 \) (Уравнение 2)
начнем с первого уравнения.
Шаг 1: Изолируем переменные
Из первого уравнения можно выразить \( y \):
\[ xy = 3 - x^2 \]
Далее, из этого выражения можно выразить \( y \):
\[ y = \frac{3 - x^2}{x} \quad (x \neq 0) \]
Шаг 2: Подставляем \( y \) во второе уравнение
Теперь подставим \( y \) из выражения в второе уравнение:
\[ y^2 + 5xy(x+y) = 19 \]
Подставим \( y = \frac{3 - x^2}{x} \) в это уравнение, сначала найдем \( y^2 \):
\[ y^2 = \left( \frac{3 - x^2}{x} \right)^2 = \frac{(3 - x^2)^2}{x^2} \]
Теперь находим \( 5xy(x+y) \):
- \( x+y = x + \frac{3 - x^2}{x} = \frac{x^2 + 3 - x^2}{x} = \frac{3}{x} \)
Теперь подставим:
\[ 5xy(x+y) = 5x\left(\frac{3 - x^2}{x}\right)\left(\frac{3}{x}\right) = 5(3 - x^2)\cdot 3 = 15(3 - x^2) = 45 - 15x^2 \]
Теперь подставляем все это во второе уравнение:
\[ \frac{(3 - x^2)^2}{x^2} + (45 - 15x^2) = 19 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Переместим все в одно уравнение:
\[ \frac{(3 - x^2)^2}{x^2} + 45 - 15x^2 - 19 = 0 \] \[ \frac{(3 - x^2)^2}{x^2} + 26 - 15x^2 = 0 \]
Теперь умножим все уравнение на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
\[ (3 - x^2)^2 + 26x^2 - 15x^4 = 0 \] \[ 9 - 6x^2 + x^4 + 26x^2 - 15x^4 = 0 \] \[ -14x^4 + 20x^2 + 9 = 0 \]
Можно заменить \( z = x^2 \), после замены уравнение станет:
\[ -14z^2 + 20z + 9 = 0 \]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Теперь решим это квадратное уравнение по формуле:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-14)(9)}}{2(-14)} \] \[ = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 504}}{-28} \] \[ = \frac{-20 \pm \sqrt{904}}{-28} \]
Теперь найдём корень из 904. Он упрощается как:
\[ \sqrt{904} = \sqrt{4 \times 226} = 2\sqrt{226} \]
Так что результат будет:
\[ z = \frac{-20 \pm 2\sqrt{226}}{-28} \] \[ z = \frac{20 \mp 2\sqrt{226}}{28} = \frac{10 \mp \sqrt{226}}{14} \]
Теперь, если мы подставим корни \( z \) обратно в уравнение \( z = x^2 \):
- Получим значения \( x \) из \( x = \sqrt{z} \) или \( x = -\sqrt{z} \).
Шаг 5: Находим значение \( y \)
Используя найденные значения \( x \), можем найти соответствующие значения \( y \) из выражения \( y = \frac{3 - x^2}{x} \).
Итог
Мы получили значения \( x \) и последним шагом получим \( y \) согласно выбранному \( x \).
Таким образом, эта система уравнений может быть решена, и мы нашли способ выразить \( y \) через \( x \), а затем решить квадратное уравнение для нахождения значений этих переменных.
