X^2+x+7=0

Для решения квадратного уравнения \(x^2 + x + 7 = 0\) воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Общее уравнение имеет вид:

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 7\).

Шаг 1: Найдем дискриминант

Формула для нахождения дискриминанта \(D\):

\[D = b^2 - 4ac.\]

Подставим значения:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27.\]

Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), уравнение не имеет вещественных корней. Вместо этого, оно имеет два комплексных корня.

Шаг 2: Найдем комплексные корни

Формула корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим известные значения:

\[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-27}}{2}.\]

Чтобы вычислить корни, найдем квадратный корень из \(-27\):

\[\sqrt{-27} = \sqrt{-1 \cdot 27} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{27} = i \cdot \sqrt{27}.\]

Где \(i\) — мнимая единица (определяемая как \(i^2 = -1\)). Также \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\).

Подставим значения обратно в формулу корней:

\[x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3i\sqrt{3}}{2}.\]

Шаг 3: Запишем окончательный ответ

Итак, два комплексных корня уравнения:

\[x_1 = \frac{-1 + 3i\sqrt{3}}{2},\] \[x_2 = \frac{-1 - 3i\sqrt{3}}{2}.\]

Таким образом, уравнение \(x^2 + x + 7 = 0\) имеет два комплексных корня.