Для решения этой задачи мы будем использовать концепцию вероятности из теории вероятностей.
Шаг 1: Определим параметры
- Вероятность попадания в цель за одну попытку ( p = 0.7 ).
- Вероятность промаха, соответственно, будет ( q = 1 - p = 0.3 ).
- Мы хотим, чтобы вероятность хотя бы одного попадания за ( n ) попыток была не менее ( 0.903 ).
Шаг 2: Найдем вероятность промаха за ( n ) попыток
Вероятность того, что стрелок не попадет в цель ни разу за ( n ) попыток (т.е. промахнется все разы) равна:
[
q^n = (0.3)^n
]
Шаг 3: Найдем вероятность хотя бы одного попадания
Вероятность того, что стрелок попадет в цель хотя бы один раз за ( n ) попыток, равна:
[
1 - (0.3)^n
]
Шаг 4: Установим неравенство
Мы хотим, чтобы эта вероятность была больше или равна 0.903:
[
1 - (0.3)^n \geq 0.903
]
Шаг 5: Упрощение неравенства
Теперь уберем 1 с обеих сторон:
[
-(0.3)^n \geq -0.097
]
Изменим знак:
[
(0.3)^n \leq 0.097
]
Шаг 6: Применим логарифмы
Для решения данного неравенства можно взять логарифм от обеих сторон:
[
\log((0.3)^n) \leq \log(0.097)
]
Согласно правилам логарифмов:
[
n \cdot \log(0.3) \leq \log(0.097)
]
Так как ( \log(0.3) ) — это отрицательное число, при делении на него знаки неравенства поменяются:
[
n \geq \frac{\log(0.097)}{\log(0.3)}
]
Шаг 7: Вычисления
Теперь выполним вычисления:
Рассчитаем ( \log(0.097) ) и ( \log(0.3) ):
- ( \log(0.097) \approx -1.01283 )
- ( \log(0.3) \approx -0.52288 )
Подставим значения в неравенство:
[
n \geq \frac{-1.01283}{-0.52288} \approx 1.937
]
Округляем до ближайшего большего целого числа, так как ( n ) должно быть целым:
[
n \geq 2
]
Шаг 8: Проверка
Теперь проверим, что ( n = 2 ) удовлетворяет условию:
- Вероятность попасть хотя бы один раз за 2 попытки:
[
1 - (0.3)^2 = 1 - 0.09 = 0.91
]
(точно 0.91, что больше 0.903)
А теперь проверим для ( n = 1 ):
[
1 - (0.3)^1 = 1 - 0.3 = 0.7
]
(меньше 0.903)
Ответ
Таким образом, наименьшее количество стрел, необходимое стрелку, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0.903, равно 2.
