Распространитель театральных билетов реализует за час в среднем 4 билета. Найти вероятность того, что: а) за 3 часа он продаст 10 билетов; б) за 45 минут не менее 3 билетов. Поток…

Давайте решим вашу задачу, используя формулу для распределения Пуассона. Сначала обсудим каждую из частей задачи.

Часть 1: Театральные билеты

Дано:

• Среднее количество проданных билетов за 1 час (λ) = 4
• Время (t) = 3 часа
• Необходимое количество билетов (k) = 10

Формула распределения Пуассона:

Формула для вычисления вероятности того, что произойдет k событий за фиксированный интервал времени, задана как:

\[ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]

где \( \lambda \) — это среднее количество событий за интервал времени, \( e \) — основание натурального логарифма (приблизительно 2.7), а \( k! \) — факториал k.

Расчет λ для 3 часов:

Так как в 1 час в среднем продается 4 билета, то за 3 часа:

\[ \lambda = 4 \cdot 3 = 12 \]

Подставляем в формулу:

Теперь мы можем найти вероятность того, что будет продано 10 билетов:

\[ P(X=10) = \frac{e^{-12} \cdot 12^{10}}{10!} \]

Теперь подставим \( e \approx 2.7 \) и найдем значения:

1. Вычисливаем \( e^{-12} \): \[ e^{-12} \approx \frac{1}{e^{12}} \approx \frac{1}{162754.79} \approx 0.000006144 \]

2. Вычисляем \( 12^{10} \): \[ 12^{10} = 61917364224 \]

3. Вычисляем \( 10! = 3628800 \).

Теперь можем подставить и вычислить \( P(X=10) \):

\[ P(X=10) = \frac{0.000006144 \cdot 61917364224}{3628800} \approx \frac{381.93}{3628800} \approx 0.000105 \]

Вероятность того, что за 3 часа будет продано 10 билетов примерно равна 0.000105 или 0.0105%.

Часть 2: Вызовы на телефонной станции

Дано:

• Среднее количество вызовов за 1 час (λ) = 30
• Время (t) = 1 минута
• Необходимое количество вызовов (k) = 2 или более

Расчет λ для 1 минуты:

В 1 минуте (1/60 часа) среднее количество вызовов:

\[ \lambda = \frac{30}{60} = 0.5 \]

Мы ищем вероятность того, что будет не менее 2 вызовов (k ≥ 2). Сначала посчитаем вероятность для k = 0 и k = 1, затем вычтем из 1:

\[ P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \]

Находим \( P(X=0) \) и \( P(X=1) \):

1. \( P(X=0) \): \[ P(X=0) = \frac{e^{-0.5} \cdot 0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.6065 \]

2. \( P(X=1) \): \[ P(X=1) = \frac{e^{-0.5} \cdot 0.5^1}{1!} = e^{-0.5} \cdot 0.5 \approx 0.30325 \]

Теперь подставим в формулу для \( P(X \geq 2) \):

\[ P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 1 - (0.6065 + 0.30325) = 1 - 0.90975 = 0.09025 \]

Вероятность, что за 1 минуту поступит не менее 2 вызовов, примерно равна 0.09025 или 9.025%.

Итоги:

1. Вероятность продажи 10 билетов за 3 часа: примерно 0.000105 (или 0.0105%).
2. Вероятность поступления не менее 2 вызовов за 1 минуту: примерно 0.09025 (или 9.025%).