Давайте решим вашу задачу, используя формулу для распределения Пуассона. Сначала обсудим каждую из частей задачи.
Часть 1: Театральные билеты
Дано:
- Среднее количество проданных билетов за 1 час (λ) = 4
- Время (t) = 3 часа
- Необходимое количество билетов (k) = 10
Формула распределения Пуассона:
Формула для вычисления вероятности того, что произойдет k событий за фиксированный интервал времени, задана как:
[
P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}
]
где ( \lambda ) — это среднее количество событий за интервал времени, ( e ) — основание натурального логарифма (приблизительно 2.7), а ( k! ) — факториал k.
Расчет λ для 3 часов:
Так как в 1 час в среднем продается 4 билета, то за 3 часа:
[
\lambda = 4 \cdot 3 = 12
]
Подставляем в формулу:
Теперь мы можем найти вероятность того, что будет продано 10 билетов:
[
P(X=10) = \frac{e^{-12} \cdot 12^{10}}{10!}
]
Теперь подставим ( e \approx 2.7 ) и найдем значения:
Вычисливаем ( e^{-12} ):
[
e^{-12} \approx \frac{1}{e^{12}} \approx \frac{1}{162754.79} \approx 0.000006144
]
Вычисляем ( 12^{10} ):
[
12^{10} = 61917364224
]
Вычисляем ( 10! = 3628800 ).
Теперь можем подставить и вычислить ( P(X=10) ):
[
P(X=10) = \frac{0.000006144 \cdot 61917364224}{3628800} \approx \frac{381.93}{3628800} \approx 0.000105
]
Вероятность того, что за 3 часа будет продано 10 билетов примерно равна 0.000105 или 0.0105%.
Часть 2: Вызовы на телефонной станции
Дано:
- Среднее количество вызовов за 1 час (λ) = 30
- Время (t) = 1 минута
- Необходимое количество вызовов (k) = 2 или более
Расчет λ для 1 минуты:
В 1 минуте (1/60 часа) среднее количество вызовов:
[
\lambda = \frac{30}{60} = 0.5
]
Мы ищем вероятность того, что будет не менее 2 вызовов (k ≥ 2). Сначала посчитаем вероятность для k = 0 и k = 1, затем вычтем из 1:
[
P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))
]
Находим ( P(X=0) ) и ( P(X=1) ):
( P(X=0) ):
[
P(X=0) = \frac{e^{-0.5} \cdot 0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.6065
]
( P(X=1) ):
[
P(X=1) = \frac{e^{-0.5} \cdot 0.5^1}{1!} = e^{-0.5} \cdot 0.5 \approx 0.30325
]
Теперь подставим в формулу для ( P(X \geq 2) ):
[
P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 1 - (0.6065 + 0.30325) = 1 - 0.90975 = 0.09025
]
Вероятность, что за 1 минуту поступит не менее 2 вызовов, примерно равна 0.09025 или 9.025%.
Итоги:
- Вероятность продажи 10 билетов за 3 часа: примерно 0.000105 (или 0.0105%).
- Вероятность поступления не менее 2 вызовов за 1 минуту: примерно 0.09025 (или 9.025%).
