Исследовать функцию на монотонность и экстремумы и построить график функции y=(3x-1)/(3x+1)

Давайте исследуем функцию \( y = \frac{3x - 1}{3x + 1} \) на монотонность и экстремумы, а затем построим график. ### Шаг 1: Найдем производную функции Для начала, найдем производную функции \( y \) с использованием правила деления. Если \( u = 3x - 1 \) и \( v = 3x + 1 \), тогда по правилу производной частного получаем: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где: - \( u' = 3 \) (производная числителя) - \( v' = 3 \) (производная знаменателя) Теперь подставим: \[ y' = \frac{3(3x + 1) - (3x - 1)(3)}{(3x + 1)^2} \] Упростим это выражение: \[ y' = \frac{(9x + 3) - (9x - 3)}{(3x + 1)^2} = \frac{9x + 3 - 9x + 3}{(3x + 1)^2} = \frac{6}{(3x + 1)^2} \] ### Шаг 2: Исследуем знак производной Теперь проанализируем знак производной \( y' \): 1. **Знаменатель** \( (3x + 1)^2 \) всегда положителен для всех \( x \neq -\frac{1}{3} \). 2. **Числитель** \( 6 \) всегда положителен. Таким образом, \( y' > 0 \) для всех \( x \) при условии, что \( x \neq -\frac{1}{3} \). Это означает, что функция является возрастающей на интервалах: - \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) - \( (-\frac{1}{3}, +\infty) \) ### Шаг 3: Нахождение экстремумов Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует. В данном случае: - Производная не равна нулю, а только не существует в точке \( x = -\frac{1}{3} \). - На этой точке также можно исследовать поведение функции. Теперь подставим \( x = -\frac{1}{3} \) в функцию: \[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1}{3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1} = \frac{-1 - 1}{-1 + 1} \text{ (деление на ноль, функция не определена)} \] Таким образом, в точке \( x = -\frac{1}{3} \) функция имеет вертикальную асимптоту. ### Шаг 4: Поведение на бесконечности Теперь исследуем поведение функции на бесконечности: - При \( x \to +\infty \), \[ y \to \frac{3x}{3x} = 1 \] - При \( x \to -\infty \), \[ y \to \frac{3x}{3x} = 1 \] Существует горизонтальная асимптота \( y = 1 \). ### Шаг 5: Построим график функции 1. У нас есть вертикальная асимптота в \( x = -\frac{1}{3} \). 2. Горизонтальная асимптота \( y = 1 \). 3. Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) и \( (-\frac{1}{3}, +\infty) \). График функции: - При \( x < -\frac{1}{3} \), функция растет и приближается к \( y = -1 \). - При \( x > -\frac{1}{3} \), функция также растет и стремится к \( y = 1 \). ### График функции \( y = \frac{3x - 1}{3x + 1} \) Ниже представлено схематическое изображение графика: ``` | 1 --|--------- (горизонтальная асимптота) | | | / | / | / | / |----/--- (вертикальная асимптота x = -1/3) | | -1 -------------------------- -1/3 x ``` ### Заключение Функция \( y = \frac{3x - 1}{3x + 1} \) является возрастающей, имеет вертикальную асимптоту в \( x = -\frac{1}{3} \) и горизонтальную асимптоту в \( y = 1 \). График функции показывает ее поведение на разных интервалах.