Исследовать функцию на монотонность и экстремумы и построить график функции y=(3x-1)/(3x+1)

Давайте исследуем функцию \( y = \frac{3x - 1}{3x + 1} \) на монотонность и экстремумы, а затем построим график.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала, найдем производную функции \( y \) с использованием правила деления. Если \( u = 3x - 1 \) и \( v = 3x + 1 \), тогда по правилу производной частного получаем:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где:

• \( u' = 3 \) (производная числителя)
• \( v' = 3 \) (производная знаменателя)

Теперь подставим:

\[ y' = \frac{3(3x + 1) - (3x - 1)(3)}{(3x + 1)^2} \]

Упростим это выражение:

\[ y' = \frac{(9x + 3) - (9x - 3)}{(3x + 1)^2} = \frac{9x + 3 - 9x + 3}{(3x + 1)^2} = \frac{6}{(3x + 1)^2} \]

Шаг 2: Исследуем знак производной

Теперь проанализируем знак производной \( y' \):

1. Знаменатель \( (3x + 1)^2 \) всегда положителен для всех \( x \neq -\frac{1}{3} \).
2. Числитель \( 6 \) всегда положителен.

Таким образом, \( y' > 0 \) для всех \( x \) при условии, что \( x \neq -\frac{1}{3} \). Это означает, что функция является возрастающей на интервалах:

• \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)
• \( (-\frac{1}{3}, +\infty) \)

Шаг 3: Нахождение экстремумов

Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует. В данном случае:

• Производная не равна нулю, а только не существует в точке \( x = -\frac{1}{3} \).
• На этой точке также можно исследовать поведение функции.

Теперь подставим \( x = -\frac{1}{3} \) в функцию:

\[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1}{3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1} = \frac{-1 - 1}{-1 + 1} \text{ (деление на ноль, функция не определена)} \]

Таким образом, в точке \( x = -\frac{1}{3} \) функция имеет вертикальную асимптоту.

Шаг 4: Поведение на бесконечности

Теперь исследуем поведение функции на бесконечности:

• При \( x \to +\infty \), \[ y \to \frac{3x}{3x} = 1 \]

• При \( x \to -\infty \), \[ y \to \frac{3x}{3x} = 1 \]

Существует горизонтальная асимптота \( y = 1 \).

Шаг 5: Построим график функции

1. У нас есть вертикальная асимптота в \( x = -\frac{1}{3} \).
2. Горизонтальная асимптота \( y = 1 \).
3. Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) и \( (-\frac{1}{3}, +\infty) \).

График функции:

• При \( x < -\frac{1}{3} \), функция растет и приближается к \( y = -1 \).
• При \( x > -\frac{1}{3} \), функция также растет и стремится к \( y = 1 \).

График функции \( y = \frac{3x - 1}{3x + 1} \)

Ниже представлено схематическое изображение графика:

          |
      1 --|--------- (горизонтальная асимптота)
          |
          |
          |        /
          |       /
          |      /
          |     /
          |----/--- (вертикальная асимптота x = -1/3)
          |
          |
         -1 --------------------------
                     -1/3         x

Заключение

Функция \( y = \frac{3x - 1}{3x + 1} \) является возрастающей, имеет вертикальную асимптоту в \( x = -\frac{1}{3} \) и горизонтальную асимптоту в \( y = 1 \). График функции показывает ее поведение на разных интервалах.